Номер 6.18, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.18. 1) $\frac{5a^3b+5ab^3}{a^4-b^4}$;

2) $\frac{a^4-b^4}{ab^2-a^3}$;

3) $\frac{2a+4}{a^3+8}$;

4) $\frac{a^4-b^4}{a^3-b^3}$.

1) Дана дробь $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4}$.

Чтобы сократить дробь, разложим на множители её числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $5ab$ за скобки:

$5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2 + b^2)$.

Знаменатель $a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(a^2)^2 - (b^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{5ab(a^2 + b^2)}{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}$.

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5ab}{a^2 - b^2}$.

Ответ: $\frac{5ab}{a^2 - b^2}$.

2) Дана дробь $\frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^4 - b^4$ является разностью квадратов: $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

В знаменателе $ab^2 - a^3$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ab^2 - a^3 = a(b^2 - a^2)$.

Выражение $b^2 - a^2$ можно представить как $-(a^2 - b^2)$.

Тогда знаменатель примет вид: $a(-(a^2 - b^2)) = -a(a^2 - b^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{-a(a^2 - b^2)}$.

Сократим общий множитель $(a^2 - b^2)$:

$\frac{a^2 + b^2}{-a} = -\frac{a^2 + b^2}{a}$.

Ответ: $-\frac{a^2 + b^2}{a}$.

3) Дана дробь $\frac{2a + 4}{a^3 + 8}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $2a + 4$ вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a + 4 = 2(a + 2)$.

Знаменатель $a^3 + 8$ является суммой кубов, так как его можно записать как $a^3 + 2^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}$.

Сократим общий множитель $(a + 2)$:

$\frac{2}{a^2 - 2a + 4}$.

Ответ: $\frac{2}{a^2 - 2a + 4}$.

4) Дана дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^8 - b^8}$.

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $a^8 - b^8$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(a^4)^2 - (b^4)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^8 - b^8 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{a^4 - b^4}{(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)}$.

Сократим общий множитель $(a^4 - b^4)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{a^4 + b^4}$.

Ответ: $\frac{1}{a^4 + b^4}$.