Номер 6.16, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.16. 1) $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$;

2) $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$;

3) $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$;

4) $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $x^3 + y^3$ является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Таким образом, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Знаменатель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(x-y)(x+y)}$. Сокращаем общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем: $\frac{x^2 - xy + y^2}{x-y}$.

Ответ: $\frac{x^2 - xy + y^2}{x-y}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $m^3 - n^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Следовательно, $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$. Знаменатель $m^2 - n^2$ является разностью квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Подставим полученные разложения в исходную дробь: $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2} = \frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{(m-n)(m+n)}$. Сократим общий множитель $(m-n)$. Получаем: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m+n}$.

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m+n}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$ сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе: $2a^3 - 2b^3 = 2(a^3 - b^3)$. В знаменателе: $5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2)$. Дробь принимает вид: $\frac{2(a^3 - b^3)}{5(a^2 - b^2)}$. Теперь применим формулы разности кубов для числителя и разности квадратов для знаменателя: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ Подставляем в дробь: $\frac{2(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{5(a-b)(a+b)}$. Сокращаем общий множитель $(a-b)$. В итоге получаем: $\frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a+b)}$.

Ответ: $\frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a+b)}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$, сначала вынесем общие числовые множители. В числителе: $3p^2 - 3q^2 = 3(p^2 - q^2)$. В знаменателе: $6p^3 + 6q^3 = 6(p^3 + q^3)$. Дробь становится: $\frac{3(p^2 - q^2)}{6(p^3 + q^3)}$. Теперь используем формулу разности квадратов для числителя и суммы кубов для знаменателя: $p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$ $p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$ Подставим эти выражения в дробь: $\frac{3(p-q)(p+q)}{6(p+q)(p^2 - pq + q^2)}$. Сокращаем общий множитель $(p+q)$ и числовые коэффициенты ($\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$): $\frac{1 \cdot (p-q)}{2 \cdot (p^2 - pq + q^2)} = \frac{p-q}{2(p^2 - pq + q^2)}$.

Ответ: $\frac{p-q}{2(p^2 - pq + q^2)}$.