Номер 6.22, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.22. Упростите дробь и найдите значение выражения:

1) $\frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x}$ при $a=-5, x=-2;$

2) $\frac{3x^2 - xy}{9x^2 - 6xy + y^2}$ при $x = \frac{3}{4}, y = -\frac{2}{3}.$

1) Сначала упростим данную дробь. Выражение в числителе $a^2 - 8a + 16$ является полным квадратом разности. Используя формулу квадрата разности $(p-q)^2 = p^2-2pq+q^2$, получаем:

$a^2 - 8a + 16 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a-4)^2$.

В знаменателе $ax - 4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ax - 4x = x(a-4)$.

Теперь исходная дробь имеет вид:

$\frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x} = \frac{(a-4)^2}{x(a-4)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$, при условии что $a-4 \neq 0$. Так как по условию $a=-5$, то $a-4 = -5-4 = -9 \neq 0$, следовательно, сокращение возможно.

$\frac{(a-4)^2}{x(a-4)} = \frac{a-4}{x}$.

Теперь подставим заданные значения $a=-5$ и $x=-2$ в упрощенное выражение:

$\frac{a-4}{x} = \frac{-5-4}{-2} = \frac{-9}{-2} = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

2) Упростим выражение $\frac{3x^2 - xy}{9x^2 - 6xy + y^2}$.

В числителе $3x^2 - xy$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$3x^2 - xy = x(3x-y)$.

Выражение в знаменателе $9x^2 - 6xy + y^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(p-q)^2 = p^2-2pq+q^2$, получаем:

$9x^2 - 6xy + y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y + y^2 = (3x-y)^2$.

Теперь исходная дробь имеет вид:

$\frac{x(3x-y)}{(3x-y)^2}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3x-y)$, при условии что $3x-y \neq 0$. Проверим это условие для заданных значений $x = \frac{3}{4}$ и $y = -\frac{2}{3}$:

$3x-y = 3 \cdot \frac{3}{4} - (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{12} = \frac{27+8}{12} = \frac{35}{12} \neq 0$.

Так как условие выполняется, можем сократить дробь:

$\frac{x(3x-y)}{(3x-y)^2} = \frac{x}{3x-y}$.

Теперь подставим значения $x = \frac{3}{4}$ и (уже вычисленное) $3x-y = \frac{35}{12}$ в упрощенное выражение:

$\frac{x}{3x-y} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{35}{12}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{35} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 35} = \frac{3 \cdot 3}{35} = \frac{9}{35}$.

Ответ: $\frac{9}{35}$.