Номер 6.27, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. Докажите тождество:

1) $\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{x + c}{2x + y}$

2) $\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{x + z}{(1 - y)^2}$

3) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^4 - ab^4 - 18a^2b + 2b^5} = \frac{1}{3a^2 - b^2}$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

Сначала преобразуем числитель:

$ac + bx + ax + bc = (ac + ax) + (bx + bc) = a(c+x) + b(x+c) = (a+b)(x+c)$

Теперь преобразуем знаменатель:

$ay + 2bx + 2ax + by = (ay + by) + (2ax + 2bx) = y(a+b) + 2x(a+b) = (a+b)(y+2x)$

Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:

$\frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(y+2x)} = \frac{x+c}{y+2x} = \frac{x+c}{2x+y}$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе применим метод группировки:

$x - xy + z - zy = (x+z) - (xy+zy) = (x+z) - y(x+z) = (x+z)(1-y)$

Знаменатель представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для $a=1$ и $b=y$:

$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1-y)^3$

Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим:

$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3 = (3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a-2b) + b^2(a-2b) = (3a^2+b^2)(a-2b)$

Аналогично разложим на множители знаменатель:

$9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5 = (9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a-2b) - b^4(a-2b) = (9a^4-b^4)(a-2b)$

Выражение $(9a^4-b^4)$ является разностью квадратов, которую также можно разложить:

$9a^4-b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2-b^2)(3a^2+b^2)$

Таким образом, знаменатель равен: $(3a^2-b^2)(3a^2+b^2)(a-2b)$.

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь и сократим общие множители $(3a^2+b^2)$ и $(a-2b)$:

$\frac{(3a^2+b^2)(a-2b)}{(3a^2-b^2)(3a^2+b^2)(a-2b)} = \frac{1}{3a^2-b^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.