Номер 6.30, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.30. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2-7a+12}{a^2-6a+9}$;

2) $\frac{2xy-x^2-y^2+a^2}{x^2+a^2-y^2+2ax}$;

3) $\frac{m^3-m^2n+mn^2}{m^3+n^3}$.

1) $\frac{a^2 - 7a + 12}{a^2 - 6a + 9}$

Для упрощения дроби необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 - 7a + 12$. Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4. Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 7a + 12 = (a - 3)(a - 4)$.

Разложим знаменатель $a^2 - 6a + 9$. Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=3$. Следовательно, $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в дробь:

$\frac{(a - 3)(a - 4)}{(a - 3)^2} = \frac{(a - 3)(a - 4)}{(a - 3)(a - 3)}$

Сократим общий множитель $(a - 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a-3 \neq 0$, то есть $a \neq 3$):

$\frac{a - 4}{a - 3}$

Ответ: $\frac{a - 4}{a - 3}$.

2) $\frac{2xy - x^2 - y^2 + a^2}{x^2 + a^2 - y^2 + 2ax}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе для применения формул сокращенного умножения.

В числителе: $2xy - x^2 - y^2 + a^2 = a^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$. Выражение в скобках $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $(x - y)^2$. Таким образом, числитель можно записать как $a^2 - (x - y)^2$. Это разность квадратов, которая раскладывается на множители по формуле $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$: $(a - (x - y))(a + (x - y)) = (a - x + y)(a + x - y)$.

В знаменателе: $x^2 + a^2 - y^2 + 2ax = (x^2 + 2ax + a^2) - y^2$. Выражение в скобках $x^2 + 2ax + a^2$ является полным квадратом суммы $(x + a)^2$. Таким образом, знаменатель можно записать как $(x + a)^2 - y^2$. Это также разность квадратов: $((x + a) - y)((x + a) + y) = (x + a - y)(x + a + y)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{(a - x + y)(a + x - y)}{(x + a - y)(x + a + y)}$

Сократим общий множитель $(a + x - y)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a - x + y}{x + a + y}$

Ответ: $\frac{a - x + y}{a + x + y}$.

3) $\frac{m^3 - m^2n + mn^2}{m^3 + n^3}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе $m^3 - m^2n + mn^2$ вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(m^2 - mn + n^2)$.

Знаменатель $m^3 + n^3$ является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{m(m^2 - mn + n^2)}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

Сократим общий множитель $(m^2 - mn + n^2)$ (этот множитель не равен нулю при любых действительных $m$ и $n$, не равных нулю одновременно):

$\frac{m}{m + n}$

Ответ: $\frac{m}{m + n}$.