Номер 6.25, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.25. Упростите выражение:

1) $\frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk}$;

2) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$;

3) $\frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab}$;

4) $\frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab}$.

1) Рассмотрим выражение $ \frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk} $.

Преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $: $ m^2 + n^2 - k^2 + 2mn = (m^2 + 2mn + n^2) - k^2 = (m+n)^2 - k^2 $. Теперь применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $: $ (m+n)^2 - k^2 = (m+n-k)(m+n+k) $.

Преобразуем знаменатель, аналогично сгруппировав слагаемые: $ m^2 - n^2 + k^2 + 2mk = (m^2 + 2mk + k^2) - n^2 = (m+k)^2 - n^2 $. Применим формулу разности квадратов: $ (m+k)^2 - n^2 = (m+k-n)(m+k+n) $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $ (m+n+k) $: $ \frac{(m+n-k)(m+n+k)}{(m+k-n)(m+k+n)} = \frac{m+n-k}{m+k-n} $.

Ответ: $ \frac{m+n-k}{m-n+k} $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ a^3 - a^2 - a + 1 = (a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a-1) - 1(a-1) = (a-1)(a^2-1) $. Так как $ a^2-1 = (a-1)(a+1) $, то числитель равен $ (a-1)(a-1)(a+1) = (a-1)^2(a+1) $.

Знаменатель $ a^4 - 2a^2 + 1 $ является полным квадратом выражения $ a^2-1 $. $ a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2-1)^2 $. Разложим $ a^2-1 $ по формуле разности квадратов: $ (a^2-1)^2 = ((a-1)(a+1))^2 = (a-1)^2(a+1)^2 $.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители $ (a-1)^2 $ и $ (a+1) $: $ \frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} = \frac{1}{a+1} $.

Ответ: $ \frac{1}{a+1} $.

3) Рассмотрим выражение $ \frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab} $.

Числитель $ 1 - 3b + 3b^2 - b^3 $ является разложением куба разности по формуле $ (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 $. В нашем случае $ x=1 $ и $ y=b $, поэтому числитель равен $ (1-b)^3 $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ c - cb + a - ab = (c - cb) + (a - ab) = c(1-b) + a(1-b) $. Вынесем общий множитель $ (1-b) $: $ (1-b)(c+a) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (1-b) $: $ \frac{(1-b)^3}{(c+a)(1-b)} = \frac{(1-b)^2}{c+a} $.

Ответ: $ \frac{(1-b)^2}{a+c} $.

4) Рассмотрим выражение $ \frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ x^2 - ax + bx - ab = (x^2 - ax) + (bx - ab) = x(x-a) + b(x-a) $. Вынесем общий множитель $ (x-a) $: $ (x-a)(x+b) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ x^3 + bx^2 + ax + ab = (x^3 + bx^2) + (ax + ab) = x^2(x+b) + a(x+b) $. Вынесем общий множитель $ (x+b) $: $ (x+b)(x^2+a) $.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $ (x+b) $: $ \frac{(x-a)(x+b)}{(x+b)(x^2+a)} = \frac{x-a}{x^2+a} $.

Ответ: $ \frac{x-a}{x^2+a} $.