Номер 6.29, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.29. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4}$;

2) $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5}$;

3) $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4}$ необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 + 5a + 6$ — это квадратный трехчлен. Чтобы его разложить, найдем корни уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$. Используя теорему Виета, подбираем два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $-5$. Этими числами являются $-2$ и $-3$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $a^2 + 5a + 6 = (a - (-2))(a - (-3)) = (a+2)(a+3)$.

Знаменатель $a^2 + 4a + 4$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае: $a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и выполним сокращение:

$\frac{a^2 + 5a + 6}{a^2 + 4a + 4} = \frac{(a+2)(a+3)}{(a+2)^2} = \frac{(a+2)(a+3)}{(a+2)(a+2)} = \frac{a+3}{a+2}$.

Ответ: $\frac{a+3}{a+2}$.

2) Сократим дробь $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + 3x + 2$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $2$, а их сумма равна $-3$. Корнями являются числа $-1$ и $-2$.

Таким образом, $x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x+1)(x+2)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 6x + 5$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $5$, а их сумма равна $-6$. Корнями являются числа $-1$ и $-5$.

Таким образом, $x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x+1)(x+5)$.

Подставим полученные разложения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$:

$\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 6x + 5} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+5)} = \frac{x+2}{x+5}$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+5}$.

3) Сократим дробь $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $m^2 + 2m + 1$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

$m^2 + 2m + 1 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = (m+1)^2$.

Разложим знаменатель $m^2 + 8m + 7$. Найдем корни уравнения $m^2 + 8m + 7 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно $7$, а их сумма равна $-8$. Корнями являются числа $-1$ и $-7$.

Следовательно, разложение знаменателя: $m^2 + 8m + 7 = (m - (-1))(m - (-7)) = (m+1)(m+7)$.

Теперь подставим разложения в дробь и произведем сокращение:

$\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 8m + 7} = \frac{(m+1)^2}{(m+1)(m+7)} = \frac{(m+1)(m+1)}{(m+1)(m+7)} = \frac{m+1}{m+7}$.

Ответ: $\frac{m+1}{m+7}$.