Номер 6.28, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.28. Решите уравнение:

1) $a^2x-b^2x=a^2+2ab+b^2$;

2) $3mx+3nx=6m^2-6n^2$;

3) $ax+x=a^2+2a+1$;

4) $m^2x+2mnx+n^2x=3m^2-3n^2$.

1) $a^2x-b^2x=a^2+2ab+b^2$

Сначала преобразуем обе части уравнения. В левой части вынесем $x$ за скобки. В правой части свернем выражение по формуле квадрата суммы $(k+l)^2=k^2+2kl+l^2$.

$x(a^2-b^2) = (a+b)^2$

Теперь в левой части применим формулу разности квадратов $k^2-l^2=(k-l)(k+l)$.

$x(a-b)(a+b) = (a+b)^2$

Это линейное уравнение относительно $x$ с параметрами $a$ и $b$. Для его решения рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $(a-b)(a+b) \neq 0$, что эквивалентно $a \neq b$ и $a \neq -b$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a-b)(a+b)$:

$x = \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократив дробь на $(a+b)$, получаем:

$x = \frac{a+b}{a-b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю. Это возможно, если $a-b=0$ или $a+b=0$.

Подслучай 2а: $a+b=0$, то есть $a=-b$.

Подставим $a+b=0$ в уравнение $x(a-b)(a+b) = (a+b)^2$:

$x(a-b) \cdot 0 = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно при любом значении $x$.

Подслучай 2б: $a-b=0$, то есть $a=b$.

Подставим $a=b$ в уравнение $x(a-b)(a+b) = (a+b)^2$:

$x \cdot 0 \cdot (a+a) = (a+a)^2$

$0 \cdot x = (2a)^2$

$0 \cdot x = 4a^2$

Если $a=0$ (и, следовательно, $b=0$), то уравнение примет вид $0 \cdot x = 0$, и его решением будет любое число. Этот частный случай ($a=b=0$) входит в подслучай 2а, так как $a+b=0+0=0$.

Если $a \neq 0$ (и, следовательно, $b=a \neq 0$), то $4a^2 \neq 0$. Уравнение $0 \cdot x = 4a^2$ не имеет решений, так как в левой части всегда будет 0.

Ответ: если $a \neq b$ и $a \neq -b$, то $x = \frac{a+b}{a-b}$; если $a=-b$, то $x$ - любое число; если $a=b$ и $a \neq 0$, то корней нет.

2) $3mx+3nx=6m^2-6n^2$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения.

$3x(m+n) = 6(m^2-n^2)$

Применим к правой части формулу разности квадратов $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.

$3x(m+n) = 6(m-n)(m+n)$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $m+n \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $3(m+n)$, так как этот множитель не равен нулю.

$x = \frac{6(m-n)(m+n)}{3(m+n)}$

$x = 2(m-n)$

Случай 2: $m+n = 0$.

В этом случае уравнение принимает вид:

$3x \cdot 0 = 6(m-n) \cdot 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: если $m+n \neq 0$, то $x = 2(m-n)$; если $m+n=0$, то $x$ - любое число.

3) $ax+x=a^2+2a+1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части, а правую часть свернем по формуле квадрата суммы.

$x(a+1) = (a+1)^2$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a+1$.

$x = \frac{(a+1)^2}{a+1}$

$x = a+1$

Случай 2: $a+1 = 0$, то есть $a = -1$.

Уравнение принимает вид:

$x \cdot 0 = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq -1$, то $x=a+1$; если $a=-1$, то $x$ - любое число.

4) $m^2x+2mnx+n^2x=3m^2-3n^2$

В левой части вынесем $x$ за скобки. В правой части вынесем за скобки 3.

$x(m^2+2mn+n^2) = 3(m^2-n^2)$

Применим формулы сокращенного умножения: в левой части — квадрат суммы, в правой — разность квадратов.

$x(m+n)^2 = 3(m-n)(m+n)$

Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: $m+n \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $m+n$ (это возможно, так как $m+n \neq 0$).

$x(m+n) = 3(m-n)$

Еще раз разделим на $m+n$, чтобы выразить $x$.

$x = \frac{3(m-n)}{m+n}$

Случай 2: $m+n = 0$.

Подставим $m+n=0$ в уравнение $x(m+n)^2 = 3(m-n)(m+n)$:

$x \cdot 0^2 = 3(m-n) \cdot 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство истинно для любого значения $x$.

Ответ: если $m+n \neq 0$, то $x = \frac{3(m-n)}{m+n}$; если $m+n=0$, то $x$ - любое число.