Номер 6.17, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.13-6.20 сократите дроби.

6.17. 1) $\frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2}$;

2) $\frac{x^4 - y^4}{x^2 - y^2}$;

3) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

4) $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2}$, разложим числитель на множители. Числитель $a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$.

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{x^4 - y^4}{x^2 - y^2}$, разложим числитель на множители. Числитель $x^4 - y^4$ является разностью квадратов: $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2}$.

Сократим общий множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{\cancel{(x^2 - y^2)}(x^2 + y^2)}{\cancel{x^2 - y^2}} = x^2 + y^2$.

Ответ: $x^2 + y^2$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^3 - b^3$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Знаменатель $a^4 - b^4$ — это разность квадратов, которую можно разложить дважды:

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)}$.

Сократим общий множитель $(a - b)$:

$\frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{(a - b)}(a + b)(a^2 + b^2)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$.

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a + b)(a^2 + b^2)}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$, разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $a^3 - b^3$ — это разность кубов. Используем формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^2 + ab + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$.

Числитель и часть знаменателя содержат одинаковый множитель $(a^2 + ab + b^2)$, который можно сократить:

$\frac{\cancel{a^2 + ab + b^2}}{(a - b)\cancel{(a^2 + ab + b^2)}} = \frac{1}{a - b}$.

Ответ: $\frac{1}{a - b}$.