Номер 6.42, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.42. При каких натуральных n значение дроби – натуральное число:

1) $\frac{n+12}{n}$;

2) $\frac{5n-9}{n}$;

3) $\frac{n^2+2n+3}{n}$?

1) Чтобы значение дроби $\frac{n+12}{n}$ было натуральным числом, необходимо найти все натуральные $n$, при которых это условие выполняется. Преобразуем данную дробь, разделив числитель почленно на знаменатель: $\frac{n+12}{n} = \frac{n}{n} + \frac{12}{n} = 1 + \frac{12}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $1 + \frac{12}{n}$ будет натуральным числом тогда и только тогда, когда $\frac{12}{n}$ является целым числом (так как 1 — целое число). Для того чтобы дробь $\frac{12}{n}$ была целым числом, $n$ должно быть делителем числа 12. Найдём все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Все эти значения $n$ являются решениями.

Ответ: $n \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{5n-9}{n}$. Требуется найти все натуральные $n$, при которых значение этой дроби является натуральным числом. Преобразуем дробь: $\frac{5n-9}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{9}{n} = 5 - \frac{9}{n}$. Чтобы выражение $5 - \frac{9}{n}$ было натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. Выражение должно быть целым числом. Это значит, что $\frac{9}{n}$ должно быть целым числом. Следовательно, $n$ должно быть натуральным делителем числа 9. Натуральные делители 9: 1, 3, 9.

2. Выражение должно быть положительным: $5 - \frac{9}{n} > 0$.

Проверим найденные делители:

- при $n=1$: $5 - \frac{9}{1} = 5 - 9 = -4$. Это не натуральное число.

- при $n=3$: $5 - \frac{9}{3} = 5 - 3 = 2$. Это натуральное число.

- при $n=9$: $5 - \frac{9}{9} = 5 - 1 = 4$. Это натуральное число.

Таким образом, подходят только значения $n=3$ и $n=9$.

Ответ: $n \in \{3, 9\}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{n^2+2n+3}{n}$. Найдем все натуральные $n$, при которых значение дроби является натуральным числом. Преобразуем выражение, разделив каждый член числителя на $n$: $\frac{n^2+2n+3}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = n + 2 + \frac{3}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n+2$ также является натуральным числом. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым числом. Это возможно только если $n$ является натуральным делителем числа 3. Натуральные делители числа 3: 1, 3.

Проверим эти значения:

- при $n=1$: $\frac{1^2+2(1)+3}{1} = 1+2+3 = 6$. Это натуральное число.

- при $n=3$: $\frac{3^2+2(3)+3}{3} = \frac{9+6+3}{3} = \frac{18}{3} = 6$. Это натуральное число.

Оба значения подходят.

Ответ: $n \in \{1, 3\}$.