Номер 13, страница 161 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

13. Медный шар с внутренней полостью плавает в равновесии в воде. Каков объем шара, если объем полости $V = 17,75 \text{ см}^3$?

Дано:

Объем внутренней полости шара $V_{пол} = 17,75 \text{ см}^3$.

Шар изготовлен из меди и плавает в воде. Используем справочные значения плотностей:

Плотность меди $\rho_{м} = 8900 \text{ кг/м}^3$.

Плотность воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Перевод данных в систему СИ:

$V_{пол} = 17,75 \text{ см}^3 = 17,75 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 17,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Общий объем шара $V_{шара}$.

Решение:

Условие равновесия тела, плавающего в жидкости, заключается в том, что действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

$F_A = F_g$

Сила тяжести определяется массой шара $m$ и ускорением свободного падения $g$. Масса шара равна массе его медной оболочки. Объем меди $V_м$ — это разность общего объема шара $V_{шара}$ и объема внутренней полости $V_{пол}$.

$m = \rho_м \cdot V_м = \rho_м \cdot (V_{шара} - V_{пол})$

Таким образом, сила тяжести равна:

$F_g = m \cdot g = \rho_м \cdot (V_{шара} - V_{пол}) \cdot g$

Сила Архимеда зависит от плотности жидкости $\rho_в$ и объема погруженной части тела $V_{погр}$.

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{погр}$

Плотность меди ($\rho_м = 8900 \text{ кг/м}^3$) больше плотности воды ($\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$), поэтому сплошной медный шар утонул бы. Полый шар может плавать. Условие "плавает в равновесии" для такого объекта обычно означает, что он находится в состоянии безразличного равновесия, то есть полностью погружен в воду. В этом случае его средняя плотность равна плотности воды, а объем погруженной части тела равен его полному объему: $V_{погр} = V_{шара}$.

Приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$\rho_в \cdot g \cdot V_{шара} = \rho_м \cdot (V_{шара} - V_{пол}) \cdot g$

Ускорение свободного падения $g$ можно сократить:

$\rho_в \cdot V_{шара} = \rho_м \cdot (V_{шара} - V_{пол})$

Теперь выразим из этого уравнения искомый объем шара $V_{шара}$.

$\rho_в \cdot V_{шара} = \rho_м \cdot V_{шара} - \rho_м \cdot V_{пол}$

$\rho_м \cdot V_{пол} = \rho_м \cdot V_{шара} - \rho_в \cdot V_{шара}$

$\rho_м \cdot V_{пол} = V_{шара} \cdot (\rho_м - \rho_в)$

$V_{шара} = \frac{\rho_м \cdot V_{пол}}{\rho_м - \rho_в}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$V_{шара} = \frac{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 17,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{8900 \text{ кг/м}^3 - 1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{8900 \cdot 17,75 \cdot 10^{-6}}{7900} \text{ м}^3$

$V_{шара} = \frac{89 \cdot 17,75}{79} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = \frac{1579,75}{79} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \approx 19,9968 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Результат очень близок к целому числу. Округляя, получаем:

$V_{шара} \approx 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Переведем ответ обратно в кубические сантиметры для наглядности:

$20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 20 \text{ см}^3$

Ответ: Объем шара равен 20 см³.