Номер 7, страница 161 - гдз по физике 7 класс учебник Башарулы, Тезекеев

7. Предположим, что вес золотой короны царя Гиерона в воздухе – 20 Н, а в воде – 18,75 Н. Какова плотность вещества короны? Предполагая, что к золоту добавлено только серебро, определите, сколько золота и сколько серебра присутствует в составе короны. Средняя плотность золота – $2 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3$, серебра – $10^4 \text{ кг/м}^3$.

Дано:

Вес короны в воздухе, $P_{воздух} = 20$ Н.

Вес короны в воде, $P_{вода} = 18,75$ Н.

Плотность золота, $\rho_{з} = 2 \cdot 10^4$ кг/м³.

Плотность серебра, $\rho_{с} = 10^4$ кг/м³.

Плотность воды, $\rho_{в} = 10^3$ кг/м³ (справочное значение).

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с².

Найти:

$\rho_{к}$ — плотность вещества короны;

$m_{з}$ — масса золота в короне;

$m_{с}$ — масса серебра в короне.

Решение:

Какова плотность вещества короны?

1. На корону, погруженную в воду, действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{A}$, которая равна разности ее веса в воздухе и в воде:

$F_{А} = P_{воздух} - P_{вода} = 20 \text{ Н} - 18,75 \text{ Н} = 1,25 \text{ Н}$.

2. Эта же сила определяется формулой $F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{к}$, где $V_{к}$ — объем короны. Отсюда можем найти объем короны:

$V_{к} = \frac{F_{А}}{\rho_{в} \cdot g} = \frac{1,25 \text{ Н}}{10^3 \text{ кг/м³} \cdot 10 \text{ м/с²}} = 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ м³}$.

3. Массу короны $m_{к}$ найдем из ее веса в воздухе $P_{воздух} = m_{к} \cdot g$:

$m_{к} = \frac{P_{воздух}}{g} = \frac{20 \text{ Н}}{10 \text{ м/с²}} = 2 \text{ кг}$.

4. Плотность вещества короны $\rho_{к}$ равна отношению ее массы к объему:

$\rho_{к} = \frac{m_{к}}{V_{к}} = \frac{2 \text{ кг}}{1,25 \cdot 10^{-4} \text{ м³}} = 1,6 \cdot 10^4 \text{ кг/м³}$.

Ответ: Плотность вещества короны составляет $1,6 \cdot 10^4$ кг/м³.

Определите, сколько золота и сколько серебра присутствует в составе короны.

1. Пусть корона состоит из золота массой $m_{з}$ и серебра массой $m_{с}$. Общая масса короны равна:

$m_{з} + m_{с} = m_{к} = 2 \text{ кг}$.

2. Общий объем короны равен сумме объемов золота и серебра:

$V_{з} + V_{с} = V_{к}$, где $V_{з} = \frac{m_{з}}{\rho_{з}}$ и $V_{с} = \frac{m_{с}}{\rho_{с}}$.

Получаем второе уравнение: $\frac{m_{з}}{\rho_{з}} + \frac{m_{с}}{\rho_{с}} = V_{к}$.

3. Составим систему уравнений и подставим в нее известные значения:

$\begin{cases} m_{з} + m_{с} = 2 \\ \frac{m_{з}}{2 \cdot 10^4} + \frac{m_{с}}{10^4} = 1,25 \cdot 10^{-4} \end{cases}$

4. Из первого уравнения выразим массу серебра: $m_{с} = 2 - m_{з}$.

5. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{m_{з}}{2 \cdot 10^4} + \frac{2 - m_{з}}{10^4} = 1,25 \cdot 10^{-4}$.

6. Для решения уравнения умножим все его части на $2 \cdot 10^4$:

$m_{з} + 2 \cdot (2 - m_{з}) = 1,25 \cdot 10^{-4} \cdot 2 \cdot 10^4$.

$m_{з} + 4 - 2m_{з} = 2,5$.

$4 - m_{з} = 2,5$.

$m_{з} = 4 - 2,5 = 1,5 \text{ кг}$.

7. Теперь найдем массу серебра:

$m_{с} = 2 - m_{з} = 2 - 1,5 = 0,5 \text{ кг}$.

Ответ: В составе короны присутствует 1,5 кг золота и 0,5 кг серебра.