Номер 27, страница 27, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 18. Зависимость давления в жидкости и газе от глубины или высоты. Сообщающиеся сосуды - номер 27, страница 27.

Условие.

27. В измерительный цилиндр высотой 20 см налили не доверху ртуть, а поверх неё воду, так что цилиндр оказался заполненным доверху. Чему равно гидростатическое давление на дно сосуда, если одинаковы:

а) объёмы жидкостей;

б) массы жидкостей?

Решение.

Дано

Высота цилиндра, $H = 20$ см

Плотность ртути, $\rho_р = 13600$ кг/м³ (табличное значение)

Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³ (табличное значение)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ Н/кг

Перевод в систему СИ:

$H = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Гидростатическое давление на дно сосуда $\text{P}$ в двух случаях:

а) $P_а$ - при равенстве объемов жидкостей.

б) $P_б$ - при равенстве масс жидкостей.

Решение

Гидростатическое давление на дно сосуда, заполненного несмешивающимися жидкостями, равно сумме давлений, создаваемых каждой жидкостью. Так как вода находится поверх ртути, общее давление на дно $\text{P}$ будет суммой давления столба воды $P_в$ и давления столба ртути $P_р$.

$P = P_р + P_в = \rho_р g h_р + \rho_в g h_в$

где $h_р$ и $h_в$ — высоты столбов ртути и воды соответственно. Общая высота столба жидкости равна высоте цилиндра:

$h_р + h_в = H$

Рассмотрим два случая.

а) объёмы жидкостей;

По условию, объемы жидкостей равны: $V_р = V_в$.

Объем жидкости в цилиндре можно выразить через площадь основания $\text{S}$ и высоту столба жидкости $\text{h}$ как $V = S \cdot h$.

Так как цилиндр имеет постоянное сечение, из равенства объемов следует равенство высот столбов жидкостей:

$S \cdot h_р = S \cdot h_в \implies h_р = h_в$

Учитывая, что $h_р + h_в = H$, получаем:

$2 h_р = H \implies h_р = h_в = \frac{H}{2}$

Подставим значения высот в формулу для общего давления:

$P_а = \rho_р g \frac{H}{2} + \rho_в g \frac{H}{2} = \frac{gH}{2} (\rho_р + \rho_в)$

Произведем вычисления:

$P_а = \frac{9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.2 \text{ м}}{2} (13600 \text{ кг/м³} + 1000 \text{ кг/м³}) = 0.98 \cdot 14600 = 14308 \text{ Па} \approx 14.3 \text{ кПа}$

Ответ: гидростатическое давление на дно сосуда равно примерно $14.3$ кПа.

б) массы жидкостей?

По условию, массы жидкостей равны: $m_р = m_в$.

Массу жидкости можно выразить через плотность $\rho$ и объем $\text{V}$ как $m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot h$.

Из равенства масс получаем:

$\rho_р S h_р = \rho_в S h_в \implies \rho_р h_р = \rho_в h_в$

Мы имеем систему из двух уравнений:

$h_р + h_в = H$

$\rho_р h_р = \rho_в h_в$

Из второго уравнения выразим $h_в$ через $h_р$: $h_в = h_р \frac{\rho_р}{\rho_в}$ и подставим в первое уравнение:

$h_р + h_р \frac{\rho_р}{\rho_в} = H \implies h_р (1 + \frac{\rho_р}{\rho_в}) = H \implies h_р = H \frac{\rho_в}{\rho_р + \rho_в}$

Аналогично найдем $h_в$:

$h_в = H - h_р = H - H \frac{\rho_в}{\rho_р + \rho_в} = H \frac{\rho_р}{\rho_р + \rho_в}$

Теперь подставим выражения для $h_р$ и $h_в$ в формулу общего давления:

$P_б = \rho_р g h_р + \rho_в g h_в = g (\rho_р H \frac{\rho_в}{\rho_р + \rho_в} + \rho_в H \frac{\rho_р}{\rho_р + \rho_в}) = gH \frac{2\rho_р\rho_в}{\rho_р + \rho_в}$

Произведем вычисления:

$P_б = 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot \frac{2 \cdot 13600 \text{ кг/м³} \cdot 1000 \text{ кг/м³}}{13600 \text{ кг/м³} + 1000 \text{ кг/м³}} = 1.96 \cdot \frac{27200000}{14600} \text{ Па} \approx 3651.5 \text{ Па} \approx 3.65 \text{ кПа}$

Ответ: гидростатическое давление на дно сосуда равно примерно $3.65$ кПа.