Номер 28, страница 27, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 18. Зависимость давления в жидкости и газе от глубины или высоты. Сообщающиеся сосуды - номер 28, страница 27.

Условие.

28. В один из заполненных водой сообщающихся сосудов долили керосин. Высота столба керосина 20 см. В каком из сосудов уровень жидкости выше и насколько?

Решение.

Дано:

Высота столба керосина $h_к = 20 \text{ см}$

Плотность воды (табличное значение) $\rho_в \approx 1000 \frac{кг}{м^3}$

Плотность керосина (табличное значение) $\rho_к \approx 800 \frac{кг}{м^3}$

$h_к = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

В каком сосуде уровень выше и на сколько $\Delta h$.

Решение:

Задача о сообщающихся сосудах с двумя разными несмешивающимися жидкостями решается с помощью закона Паскаля, согласно которому давление на одном и том же горизонтальном уровне внутри жидкости в состоянии покоя одинаково.

Обозначим сосуд, в который долили керосин, как сосуд 1, а сосуд, где осталась только вода — как сосуд 2. Поскольку керосин легче воды и не смешивается с ней, он будет находиться над водой в сосуде 1. При этом уровень воды в сосуде 1 опустится, а в сосуде 2 — поднимется.

Выберем в качестве уровня отсчета горизонтальную плоскость, проходящую через границу раздела керосина и воды в сосуде 1. Давление на этом уровне в обоих сосудах должно быть одинаковым.

В сосуде 1 давление на этом уровне создается столбом керосина высотой $h_к$ и атмосферным давлением $p_{атм}$.

$p_1 = p_{атм} + \rho_к \cdot g \cdot h_к$

В сосуде 2 давление на том же уровне создается столбом воды высотой $h_в$ (высота воды над уровнем раздела) и атмосферным давлением.

$p_2 = p_{атм} + \rho_в \cdot g \cdot h_в$

Приравнивая давления ($p_1 = p_2$):

$p_{атм} + \rho_к \cdot g \cdot h_к = p_{атм} + \rho_в \cdot g \cdot h_в$

$\rho_к \cdot h_к = \rho_в \cdot h_в$

Из этого соотношения видно, что, так как плотность керосина $\rho_к$ меньше плотности воды $\rho_в$, для уравновешивания давления высота столба керосина $h_к$ должна быть больше высоты столба воды $h_в$. Следовательно, уровень жидкости будет выше в сосуде с керосином.

Разность уровней жидкости в сосудах $\Delta h$ — это разница между высотой столба керосина и высотой столба воды над уровнем их раздела:

$\Delta h = h_к - h_в$

Из уравнения равновесия выразим $h_в$:

$h_в = h_к \cdot \frac{\rho_к}{\rho_в}$

Подставим это выражение в формулу для разности уровней:

$\Delta h = h_к - h_к \cdot \frac{\rho_к}{\rho_в} = h_к \cdot (1 - \frac{\rho_к}{\rho_в})$

Теперь подставим числовые значения. Удобнее производить вычисления в сантиметрах, так как исходные данные даны в них.

$\Delta h = 20 \text{ см} \cdot (1 - \frac{800 \frac{кг}{м^3}}{1000 \frac{кг}{м^3}}) = 20 \text{ см} \cdot (1 - 0.8) = 20 \text{ см} \cdot 0.2 = 4 \text{ см}$

Ответ: Уровень жидкости выше в сосуде с керосином на 4 см.