Номер 49.4, страница 79 - гдз по физике 7 класс рабочая тетрадь Ханнанова, Ханнанов

Закон Архимеда - номер 49.4, страница 79.

Условие.

Задание 49.4. На плоту, изготовленном из соснового бруса, следует переправить груз массой 900 кг. Какова должна быть минимальная площадь плота, если брус в поперечном сечении имеет форму квадрата со стороной 20 см? Сделайте рисунок.

Дано:	СИ	Решение:

Ответ: ________ $м^2$.

Решение.

Дано:

$m_{гр} = 900$ кг

$a = 20$ см

Материал плота - сосна

Плот находится в воде

СИ:

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$S_{min}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся справочными данными:

Плотность сосны: $\rho_{с} \approx 500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность пресной воды: $\rho_{в} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

На плот с грузом в воде действуют две основные силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{А}$, направленная вертикально вверх.

Минимальная площадь плота $S_{min}$ соответствует предельному случаю, когда плот полностью погружен в воду, но еще не тонет. В этом положении выталкивающая сила достигает своего максимального значения. Условие равновесия (плавания) для плота с грузом записывается как равенство силы тяжести и выталкивающей силы:

$F_{тяж} = F_{А}$

Сила тяжести $F_{тяж}$ - это суммарная сила тяжести плота и груза:

$F_{тяж} = (m_{п} + m_{гр})g$

где $m_{п}$ - масса плота, $m_{гр}$ - масса груза.

Массу плота можно выразить через его объем $V_{п}$ и плотность сосны $\rho_{с}$:

$m_{п} = \rho_{с}V_{п}$

Выталкивающая сила $F_{А}$ по закону Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Поскольку плот погружен полностью, объем вытесненной воды равен объему плота $V_{п}$:

$F_{А} = \rho_{в}gV_{п}$

Подставим выражения для сил в условие равновесия:

$(\rho_{с}V_{п} + m_{гр})g = \rho_{в}gV_{п}$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_{с}V_{п} + m_{гр} = \rho_{в}V_{п}$

Теперь выразим из этого уравнения объем плота $V_{п}$:

$m_{гр} = \rho_{в}V_{п} - \rho_{с}V_{п}$

$m_{гр} = V_{п}(\rho_{в} - \rho_{с})$

$V_{п} = \frac{m_{гр}}{\rho_{в} - \rho_{с}}$

Объем плота $V_{п}$ также можно представить как произведение его площади $\text{S}$ на толщину $\text{h}$. Толщина плота равна стороне поперечного сечения бруса, то есть $h = a$:

$V_{п} = S \cdot a$

Приравняв два полученных выражения для объема, найдем искомую площадь $\text{S}$ (в данном случае $S_{min}$):

$S_{min} \cdot a = \frac{m_{гр}}{\rho_{в} - \rho_{с}}$

$S_{min} = \frac{m_{гр}}{a(\rho_{в} - \rho_{с})}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$S_{min} = \frac{900 \text{ кг}}{0.2 \text{ м} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{900}{0.2 \cdot 500} = \frac{900}{100} = 9 \text{ м}^2$

Ответ: $9 \text{ м}^2$.