Номер 7, страница 58 - гдз по физике 7 класс учебник Кронгарт, Даданбеков

7. Расстояние между городами А и В составляет 250 км. Одновременно из обоих городов выезжают два автомобиля. Скорость автомобиля, выехавшего из города А, равна 60 км/ч, скорость второго равна 40 км/ч. Постройте графики зависимости пути от времени для каждого автомобиля и по ним определите место и время встречи автомобилей. Решите задачу аналитически и сравните с графическим решением.

Ответ: $t = 2,5 \text{ ч}$; $x = 150 \text{ км}$ от города А.

Дано:

Расстояние между городами А и В, $S = 250$ км.

Скорость автомобиля, выехавшего из города А, $v_1 = 60$ км/ч.

Скорость автомобиля, выехавшего из города В, $v_2 = 40$ км/ч.

Перевод в систему СИ:

$S = 250 \text{ км} = 250 \times 1000 \text{ м} = 250000 \text{ м}$.

$v_1 = 60 \text{ км/ч} = 60 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 16,67 \text{ м/с}$.

$v_2 = 40 \text{ км/ч} = 40 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 11,11 \text{ м/с}$.

Для удобства дальнейших вычислений будем использовать единицы км и км/ч.

Найти:

Время встречи $t_{встр}$ — ?

Место встречи $x_{встр}$ — ?

Решение:

Постройте графики зависимости пути от времени для каждого автомобиля и по ним определите место и время встречи автомобилей.

Для построения графиков выберем систему отсчета. Направим ось координат ОХ от города А к городу В. Начало отсчета ($x=0$) поместим в город А. В этой системе отсчета начальная координата первого автомобиля (из А) $x_{01} = 0$, а начальная координата второго автомобиля (из В) $x_{02} = 250$ км. Движение обоих автомобилей равномерное и прямолинейное.

Уравнение движения для первого автомобиля: $x_1(t) = x_{01} + v_1 t$. Подставив значения, получим: $x_1(t) = 60t$.

Второй автомобиль движется навстречу первому, то есть в отрицательном направлении оси ОХ. Поэтому его скорость имеет отрицательную проекцию на ось ОХ: $v_{2x} = -40$ км/ч. Уравнение движения для второго автомобиля: $x_2(t) = x_{02} + v_{2x} t$. Подставив значения, получим: $x_2(t) = 250 - 40t$.

Графики зависимостей $x(t)$ для обоих автомобилей — это прямые линии. Для построения каждой прямой найдем по две точки.

Для графика $x_1(t) = 60t$:

- при $t=0$, $x_1=0$. Точка (0; 0).

- при $t=2$, $x_1=60 \times 2 = 120$. Точка (2; 120).

Для графика $x_2(t) = 250 - 40t$:

- при $t=0$, $x_2=250$. Точка (0; 250).

- при $t=2$, $x_2=250 - 40 \times 2 = 170$. Точка (2; 170).

Построив эти две прямые в одной системе координат (ось абсцисс — время $t$ в часах, ось ординат — координата $x$ в километрах), мы находим точку их пересечения. Координаты этой точки и есть искомые время и место встречи. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $t = 2,5$ ч и $x = 150$ км.

Ответ: время встречи $t = 2,5$ ч, место встречи — на расстоянии $x = 150$ км от города А.

Решите задачу аналитически.

В момент встречи координаты автомобилей совпадают, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$. Приравняем правые части уравнений движения, полученных ранее:

$60t_{встр} = 250 - 40t_{встр}$.

Перенесем члены, содержащие $t_{встр}$, в левую часть уравнения:

$60t_{встр} + 40t_{встр} = 250$.

$100t_{встр} = 250$.

Отсюда находим время встречи:

$t_{встр} = \frac{250}{100} = 2,5$ ч.

Чтобы найти место встречи, подставим полученное время в любое из уравнений движения. Используем уравнение для первого автомобиля:

$x_{встр} = 60 \times t_{встр} = 60 \times 2,5 = 150$ км.

Место встречи находится на расстоянии 150 км от города А.

Ответ: время встречи $t = 2,5$ ч, место встречи — на расстоянии $x = 150$ км от города А.

Сравните с графическим решением.

Результат, полученный аналитически ($t = 2,5$ ч; $x = 150$ км от города А), полностью совпадает с результатом, полученным при помощи графического метода. Это говорит о верности обоих решений.