Номер 132, страница 73 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 132, страница 73.

Условие.

132. В термосе находится 0,5 кг льда при температуре -15°C. Сколько воды при 20°C надо добавить в термос, чтобы температура стала равной -5°C?

Решение.

Дано:

Масса льда $m_л = 0,5$ кг
Начальная температура льда $t_л = -15$ °С
Начальная температура воды $t_в = 20$ °С
Конечная температура смеси $t_к = -5$ °С
Удельная теплоемкость льда $c_л = 2100$ Дж/(кг·°С)
Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200$ Дж/(кг·°С)
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг

Все величины даны в единицах, совместимых с системой СИ.

Найти:

Массу воды $m_в$.

Решение:

В теплоизолированной системе (термосе) соблюдается закон сохранения энергии. Количество теплоты, отданное водой при охлаждении и кристаллизации, равно количеству теплоты, полученному льдом при нагревании. Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

1. Количество теплоты, полученное льдом при нагревании от температуры $t_л$ до $t_к$:
$Q_{полученное} = c_л \cdot m_л \cdot (t_к - t_л)$

2. Количество теплоты, отданное водой, складывается из трех процессов:
а) Охлаждение воды от $t_в = 20$ °С до температуры кристаллизации $t_{кр} = 0$ °С.
б) Кристаллизация всей воды при $t_{кр} = 0$ °С.
в) Охлаждение образовавшегося льда от $t_{кр} = 0$ °С до конечной температуры $t_к = -5$ °С.
$Q_{отданное} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_{кр}) + \lambda \cdot m_в + c_л \cdot m_в \cdot (t_{кр} - t_к)$
$Q_{отданное} = m_в \cdot (c_в \cdot (t_в - t_{кр}) + \lambda + c_л \cdot (t_{кр} - t_к))$

Приравняем полученное и отданное количество теплоты:
$c_л \cdot m_л \cdot (t_к - t_л) = m_в \cdot (c_в \cdot (t_в - t_{кр}) + \lambda + c_л \cdot (t_{кр} - t_к))$

Выразим отсюда массу воды $m_в$:
$m_в = \frac{c_л \cdot m_л \cdot (t_к - t_л)}{c_в \cdot (t_в - t_{кр}) + \lambda + c_л \cdot (t_{кр} - t_к)}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:
$m_в = \frac{2100 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot (-5 °С - (-15 °С))}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot (20 °С - 0 °С) + 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} + 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot (0 °С - (-5 °С))}$
$m_в = \frac{2100 \cdot 0,5 \cdot 10}{4200 \cdot 20 + 330000 + 2100 \cdot 5} \text{ кг}$
$m_в = \frac{10500}{84000 + 330000 + 10500} \text{ кг}$
$m_в = \frac{10500}{424500} \text{ кг} \approx 0,0247$ кг

Ответ: чтобы температура стала равной -5 °С, надо добавить в термос примерно 0,025 кг (25 г) воды.