Номер 129, страница 73 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 129, страница 73.

Условие.

129. Кусок льда массой 750 г поместили в калориметр с водой. Масса воды 2,5 кг, начальная температура 5 °С. Когда установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса льда увеличилась на 64 г. Определите начальную температуру льда.

Решение.

Дано:

Масса льда, $m_л = 750 \ г = 0.75 \ кг$
Масса воды, $m_в = 2.5 \ кг$
Начальная температура воды, $t_{в1} = 5 \ °C$
Увеличение массы льда, $\Delta m = 64 \ г = 0.064 \ кг$
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Начальная температура льда, $t_{л1}$ - ?

Решение:

Когда в калориметре с водой и льдом устанавливается тепловое равновесие, происходит теплообмен между телами. Тот факт, что масса льда увеличилась на $\Delta m$, означает, что часть воды массой $\Delta m$ замерзла (кристаллизовалась). Процесс кристаллизации воды происходит при температуре $0 \ °C$. Следовательно, конечная температура системы в состоянии теплового равновесия равна $t_2 = 0 \ °C$.

Для теплоизолированной системы, какой является калориметр, справедливо уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами.

В данном случае теплоту отдавали:
1. Вода массой $m_в$ при охлаждении от начальной температуры $t_{в1}$ до конечной температуры $t_2$. Эту теплоту обозначим $Q_1$.
2. Часть воды массой $\Delta m$ при кристаллизации при температуре $t_2$. Эту теплоту обозначим $Q_2$.

Теплоту получал лед массой $m_л$ при нагревании от своей начальной температуры $t_{л1}$ до конечной температуры $t_2$. Эту теплоту обозначим $Q_3$.

Уравнение теплового баланса будет выглядеть так:
$Q_1 + Q_2 = Q_3$

Распишем каждое слагаемое:
Количество теплоты, отданное водой при охлаждении:
$Q_1 = c_в m_в (t_{в1} - t_2)$
Количество теплоты, выделившееся при кристаллизации части воды:
$Q_2 = \lambda \Delta m$
Количество теплоты, полученное льдом при нагревании:
$Q_3 = c_л m_л (t_2 - t_{л1})$

Подставим эти выражения в уравнение теплового баланса:
$c_в m_в (t_{в1} - t_2) + \lambda \Delta m = c_л m_л (t_2 - t_{л1})$

Теперь подставим известные значения, учитывая, что $t_2 = 0 \ °C$:
$c_в m_в (5 - 0) + \lambda \Delta m = c_л m_л (0 - t_{л1})$
$c_в m_в t_{в1} + \lambda \Delta m = - c_л m_л t_{л1}$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру льда $t_{л1}$:
$t_{л1} = - \frac{c_в m_в t_{в1} + \lambda \Delta m}{c_л m_л}$

Произведем вычисления:
$t_{л1} = - \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 2.5 \ кг \cdot 5 \ °C + 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.064 \ кг}{2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.75 \ кг}$
$t_{л1} = - \frac{52500 \ Дж + 21120 \ Дж}{1575 \frac{Дж}{°C}}$
$t_{л1} = - \frac{73620 \ Дж}{1575 \frac{Дж}{°C}}$
$t_{л1} \approx -46.74 \ °C$

Ответ: начальная температура льда составляла примерно $-46.74 \ °C$.