Номер 126, страница 72 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 126, страница 72.

Условие.

126. В калориметре находятся лед и вода при 0 °С. Масса льда и воды одинакова и равна 500 г. В калориметр вливают воду массой 1 кг при температуре 50 °С. Какая температура установится в калориметре после теплообмена?

Решение.

Дано:

Масса льда, $m_л = 500$ г $= 0.5$ кг

Масса холодной воды, $m_{в1} = 500$ г $= 0.5$ кг

Начальная температура льда и холодной воды, $t_0 = 0$ °С

Масса горячей воды, $m_{в2} = 1$ кг

Начальная температура горячей воды, $t_2 = 50$ °С

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200$ Дж/(кг·°С)

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5$ Дж/кг

Найти:

Конечная температура в калориметре, $t_{кон}$ - ?

Решение:

Процесс теплообмена будет происходить в несколько этапов. Горячая вода будет отдавать тепло, а лед и холодная вода — получать. Для начала необходимо выяснить, хватит ли тепла, выделяемого горячей водой, для того чтобы растопить весь лед.

1. Найдем количество теплоты, необходимое для плавления всего льда ($Q_п$):

$Q_п = \lambda \cdot m_л$

$Q_п = 3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 0.5 \text{ кг} = 165000 \text{ Дж}$

2. Найдем максимальное количество теплоты, которое может отдать горячая вода ($Q_{отд.макс}$), если она остынет до температуры плавления льда, то есть до 0 °С:

$Q_{отд.макс} = c_в \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_0)$

$Q_{отд.макс} = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (50 \text{ °С} - 0 \text{ °С}) = 210000 \text{ Дж}$

Так как $Q_{отд.макс} > Q_п$ ($210000 \text{ Дж} > 165000 \text{ Дж}$), это означает, что горячая вода отдаст достаточно тепла, чтобы растопить весь лед. После этого в калориметре будет находиться только вода, и установится некоторая конечная температура $t_{кон}$ выше 0 °С.

Составим уравнение теплового баланса для замкнутой системы. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно сумме количеств теплоты, полученных льдом (на плавление и последующий нагрев) и холодной водой (на нагрев).

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Теплота, отданная горячей водой при остывании от $t_2$ до $t_{кон}$:

$Q_1 = c_в \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_{кон})$

Теплота, полученная льдом для плавления и нагрева образовавшейся воды от $t_0$ до $t_{кон}$:

$Q_2 = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_{кон} - t_0)$

Теплота, полученная холодной водой при нагреве от $t_0$ до $t_{кон}$:

$Q_3 = c_в \cdot m_{в1} \cdot (t_{кон} - t_0)$

Уравнение теплового баланса: $Q_1 = Q_2 + Q_3$

$c_в \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_{кон}) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_{кон} - t_0) + c_в \cdot m_{в1} \cdot (t_{кон} - t_0)$

Так как $t_0 = 0$ °С, уравнение упрощается:

$c_в \cdot m_{в2} \cdot (t_2 - t_{кон}) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot t_{кон} + c_в \cdot m_{в1} \cdot t_{кон}$

Раскроем скобки и выразим $t_{кон}$:

$c_в m_{в2} t_2 - c_в m_{в2} t_{кон} = \lambda m_л + (c_в m_л + c_в m_{в1}) t_{кон}$

$c_в m_{в2} t_2 - \lambda m_л = (c_в m_л + c_в m_{в1} + c_в m_{в2}) t_{кон}$

$t_{кон} = \frac{c_в m_{в2} t_2 - \lambda m_л}{c_в (m_л + m_{в1} + m_{в2})}$

Подставим числовые значения:

$t_{кон} = \frac{4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 50 \text{ °С} - 3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 0.5 \text{ кг}}{4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot (0.5 \text{ кг} + 0.5 \text{ кг} + 1 \text{ кг})}$

$t_{кон} = \frac{210000 \text{ Дж} - 165000 \text{ Дж}}{4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 2 \text{ кг}}$

$t_{кон} = \frac{45000 \text{ Дж}}{8400 \text{ Дж/°С}}$

$t_{кон} \approx 5.357 \text{ °С}$

Округляя до десятых, получаем $t_{кон} \approx 5.4$ °С.

Ответ: установится температура примерно $5.4$ °С.