Номер 125, страница 72 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 125, страница 72.

Условие.

125. В углубление, сделанное во льду, влили свинец. Сколько было влито свинца, если он остыл до температуры $0^\circ C$ и при этом растопил лед массой 270 г? Начальная температура льда $0^\circ C$, свинца $400^\circ C$.

Решение.

Дано

Масса растопленного льда: $m_л = 270 \text{ г}$

Начальная температура льда: $t_{н,л} = 0 \text{ °С}$

Начальная температура свинца: $t_{н,с} = 400 \text{ °С}$

Конечная температура свинца и воды: $t_к = 0 \text{ °С}$

Удельная теплота плавления льда: $\lambda_л = 3.3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$

Удельная теплоемкость свинца: $c_с = 140 \text{ Дж/(кг·°С)}$

Удельная теплота плавления (кристаллизации) свинца: $\lambda_с = 2.5 \cdot 10^4 \text{ Дж/кг}$

Температура плавления (кристаллизации) свинца: $t_{пл,с} = 327 \text{ °С}$

Перевод в систему СИ:

$m_л = 270 \text{ г} = 0.27 \text{ кг}$

Найти:

Массу свинца $m_с$.

Решение

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты, отданное свинцом при остывании и кристаллизации ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, которое получил лед для своего плавления ($Q_{пол}$), так как теплообмен происходит в замкнутой системе и тепловыми потерями можно пренебречь.

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Лед находится при температуре плавления (0 °С), поэтому вся получаемая им теплота идет на плавление. Количество теплоты, полученное льдом, вычисляется по формуле:

$Q_{пол} = \lambda_л \cdot m_л$

Свинец, влитый в углубление, отдает теплоту в несколько этапов:

1. Охлаждение жидкого свинца от начальной температуры $t_{н,с} = 400 \text{ °С}$ до температуры кристаллизации $t_{пл,с} = 327 \text{ °С}$.

2. Кристаллизация (затвердевание) свинца при температуре $t_{пл,с}$.

3. Охлаждение твердого свинца от температуры кристаллизации $t_{пл,с}$ до конечной температуры $t_к = 0 \text{ °С}$.

Общее количество отданной теплоты можно рассчитать, просуммировав теплоту каждого процесса. В школьном курсе физики для упрощения расчетов часто принимают, что удельная теплоемкость свинца в жидком и твердом состояниях одинакова. В этом случае можно объединить процессы охлаждения:

$Q_{отд} = m_с \cdot c_с \cdot (t_{н,с} - t_к) + m_с \cdot \lambda_с$

где $m_с$ — искомая масса свинца.

Теперь приравняем количество отданной и полученной теплоты:

$m_с \cdot c_с \cdot (t_{н,с} - t_к) + m_с \cdot \lambda_с = \lambda_л \cdot m_л$

Вынесем массу свинца $m_с$ за скобки:

$m_с \cdot (c_с \cdot (t_{н,с} - t_к) + \lambda_с) = \lambda_л \cdot m_л$

Выразим из этого уравнения массу свинца:

$m_с = \frac{\lambda_л \cdot m_л}{c_с \cdot (t_{н,с} - t_к) + \lambda_с}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$m_с = \frac{3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.27 \text{ кг}}{140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot (400 \text{ °С} - 0 \text{ °С}) + 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_с = \frac{89100 \text{ Дж}}{140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 400 \text{ °С} + 25000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{89100 \text{ Дж}}{56000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 25000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_с = \frac{89100 \text{ Дж}}{81000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = 1.1 \text{ кг}$

Ответ: было влито 1.1 кг свинца.