Номер 127, страница 72 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 127, страница 72.

Условие.

127. В воду массой 5 кг при температуре 40 °С опустили 1 кг льда, имеющего температуру 0 °С. Какой будет температура полученной воды после теплообмена?

Решение.

Дано:

Масса воды, $m_в = 5$ кг

Начальная температура воды, $t_1 = 40$ °C

Масса льда, $m_л = 1$ кг

Начальная температура льда, $t_2 = 0$ °C

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Конечная температура смеси, $t_к$

Решение:

При опускании льда в воду начнется теплообмен. Теплая вода будет отдавать тепло, а лед — поглощать. Процесс для льда будет состоять из двух этапов: сначала плавление при 0 °C, а затем нагревание образовавшейся воды до конечной температуры.

Прежде всего, проверим, достаточно ли тепла у воды, чтобы растопить весь лед. Для этого рассчитаем максимальное количество теплоты, которое может отдать вода, охладившись до 0 °C.

$Q_{отд. max} = c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_2) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 5 \text{ кг} \cdot (40 °C - 0 °C) = 840000 \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем количество теплоты, необходимое для плавления всего льда:

$Q_{плавления} = \lambda \cdot m_л = 3.3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \text{ кг} = 330000 \text{ Дж}$

Поскольку количество теплоты, которое может отдать вода ($840000 \text{ Дж}$), больше, чем количество теплоты, необходимое для плавления льда ($330000 \text{ Дж}$), весь лед растает, и конечная температура смеси будет выше 0 °C.

Составим уравнение теплового баланса для замкнутой системы. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, поглощенному льдом для плавления и последующего нагрева.

Количество теплоты, отданное водой при остывании до конечной температуры $t_к$:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_к)$

Количество теплоты, полученное льдом (плавление + нагрев образовавшейся воды):

$Q_{погл} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_2)$

Так как $t_2 = 0 °C$, уравнение упрощается:

$Q_{погл} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot t_к$

Приравниваем отданное и поглощенное тепло: $Q_{отд} = Q_{погл}$

$c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_к) = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot t_к$

Раскроем скобки и выразим конечную температуру $t_к$:

$c_в m_в t_1 - c_в m_в t_к = \lambda m_л + c_в m_л t_к$

$c_в m_в t_1 - \lambda m_л = c_в m_в t_к + c_в m_л t_к$

$c_в m_в t_1 - \lambda m_л = t_к \cdot (c_в m_в + c_в m_л)$

$t_к = \frac{c_в m_в t_1 - \lambda m_л}{c_в (m_в + m_л)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$t_к = \frac{4200 \cdot 5 \cdot 40 - 3.3 \cdot 10^5}{4200 \cdot (5 + 1)} = \frac{840000 - 330000}{4200 \cdot 6} = \frac{510000}{25200}$

$t_к = \frac{5100}{252} \approx 20.24$ °C

Ответ: температура полученной воды после теплообмена составит примерно 20,24 °C.