Номер 122, страница 72 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 122, страница 72.

Условие.

122. В сосуд с водой массой 5 кг при 30 °C бросают кусочки льда при 0 °C. Определите массу льда, если температура смеси стала 10 °C.

Решение.

Дано

Масса воды, $m_{в} = 5$ кг
Начальная температура воды, $t_{1} = 30$ °C
Начальная температура льда, $t_{2} = 0$ °C
Конечная температура смеси, $\theta = 10$ °C
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Все данные уже представлены в системе СИ или совместимых с ней единицах (для разности температур изменение на 1 °C равно изменению на 1 K).

Найти:

Массу льда, $m_{л}$

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. В замкнутой системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному менее нагретыми телами. В данном случае теплая вода отдает тепло, а лед его получает.

1. Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное водой при остывании от начальной температуры $t_{1}$ до конечной температуры $\theta$:
$Q_{отд} = c \cdot m_{в} \cdot (t_{1} - \theta)$

2. Количество теплоты $Q_{пол}$, полученное льдом. Этот процесс состоит из двух этапов:
а) Плавление льда при температуре $t_{2} = 0$ °C. Количество теплоты, необходимое для плавления:
$Q_{плавл} = \lambda \cdot m_{л}$
б) Нагревание воды, образовавшейся изо льда, от температуры плавления $t_{2}$ до конечной температуры $\theta$. Количество теплоты, необходимое для нагревания:
$Q_{нагр} = c \cdot m_{л} \cdot (\theta - t_{2})$

Суммарное количество теплоты, полученное льдом:
$Q_{пол} = Q_{плавл} + Q_{нагр} = \lambda \cdot m_{л} + c \cdot m_{л} \cdot (\theta - t_{2})$

3. Составим уравнение теплового баланса, приравняв отданное и полученное количество теплоты: $Q_{отд} = Q_{пол}$
$c \cdot m_{в} \cdot (t_{1} - \theta) = \lambda \cdot m_{л} + c \cdot m_{л} \cdot (\theta - t_{2})$

Вынесем искомую массу льда $m_{л}$ за скобки в правой части уравнения:
$c \cdot m_{в} \cdot (t_{1} - \theta) = m_{л} \cdot (\lambda + c \cdot (\theta - t_{2}))$

Выразим из этого уравнения массу льда $m_{л}$:
$m_{л} = \frac{c \cdot m_{в} \cdot (t_{1} - \theta)}{\lambda + c \cdot (\theta - t_{2})}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$m_{л} = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 5 \text{ кг} \cdot (30 \text{°C} - 10 \text{°C})}{3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (10 \text{°C} - 0 \text{°C})}$
$m_{л} = \frac{4200 \cdot 5 \cdot 20}{330000 + 4200 \cdot 10}$
$m_{л} = \frac{420000}{330000 + 42000}$
$m_{л} = \frac{420000}{372000} \approx 1,13$ кг

Ответ: масса льда равна примерно 1,13 кг.