Номер 123, страница 72 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 123, страница 72.

Условие.

123. Сколько нужно килограммов льда, чтобы охладить воду в ванне от $17 \text{ \degree C}$ до $7 \text{ \degree C}$? Объем воды 100 л. Температура льда $0 \text{ \degree C}$.

Решение.

Дано:

$V_в = 100 \text{ л}$

$t_1 = 17 \text{ °C}$

$t_2 = 7 \text{ °C}$

$t_л = 0 \text{ °C}$

Справочные величины:

$c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота плавления льда)

$\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Перевод в СИ:

$V_в = 100 \text{ л} = 100 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.1 \text{ м}^3$

Найти:

$m_л$

Решение:

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное водой в ванне при охлаждении, равно количеству теплоты $Q_{пол}$, полученному льдом.

$Q_{отд} = Q_{пол}$

1. Найдем количество теплоты, которое отдаст вода в ванне, охлаждаясь от $t_1$ до $t_2$.

Сначала определим массу воды $m_в$ по ее объему $V_в$ и плотности $\rho_в$:

$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.1 \text{ м}^3 = 100 \text{ кг}$

Количество отданной теплоты рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_2)$

$Q_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 100 \text{ кг} \cdot (17 \text{ °C} - 7 \text{ °C}) = 4200 \cdot 100 \cdot 10 = 4200000 \text{ Дж}$

2. Лед, добавленный в воду, получает это тепло. Процесс для льда состоит из двух стадий:

а) Плавление льда при его начальной температуре $t_л = 0 \text{ °C}$. Необходимое для этого количество теплоты $Q_{пл}$:

$Q_{пл} = \lambda \cdot m_л$

б) Нагревание воды, образовавшейся после таяния льда, от $t_л = 0 \text{ °C}$ до конечной температуры смеси $t_2 = 7 \text{ °C}$. Необходимое для этого количество теплоты $Q_{нагр}$:

$Q_{нагр} = c_в \cdot m_л \cdot (t_2 - t_л)$

Общее количество теплоты, полученное льдом, равно сумме:

$Q_{пол} = Q_{пл} + Q_{нагр} = \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_2 - t_л) = m_л(\lambda + c_в(t_2 - t_л))$

3. Приравниваем отданное и полученное количество теплоты:

$c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_2) = m_л(\lambda + c_в(t_2 - t_л))$

Выразим искомую массу льда $m_л$:

$m_л = \frac{c_в \cdot m_в \cdot (t_1 - t_2)}{\lambda + c_в(t_2 - t_л)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$m_л = \frac{4200000 \text{ Дж}}{3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (7 \text{ °C} - 0 \text{ °C})}$

$m_л = \frac{4200000}{330000 + 4200 \cdot 7} = \frac{4200000}{330000 + 29400} = \frac{4200000}{359400} \approx 11.686 \text{ кг}$

Округляя результат до десятых, получаем $11.7$ кг.

Ответ: чтобы охладить воду, нужно примерно $11.7$ кг льда.