Номер 128, страница 73 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 128, страница 73.

Условие.

128. В колбе находится 600 г воды при 80 °C. Какое количество льда при -15 °C нужно добавить в воду, чтобы окончательная температура смеси стала 50 °C?

Решение.

Дано:

$m_в = 600 \text{ г} = 0.6 \text{ кг}$

$t_в = 80 \text{°C}$

$t_л = -15 \text{°C}$

$t_к = 50 \text{°C}$

$c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость льда)

$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота плавления льда)

Найти:

$m_л$ - ?

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен между горячей водой и холодным льдом. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному льдом. Составим уравнение теплового баланса, пренебрегая теплообменом с окружающей средой:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

1. Количество теплоты $Q_1$, которое отдаст вода при остывании от начальной температуры $t_в$ до конечной $t_к$:

$Q_1 = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к)$

2. Количество теплоты $Q_{полученное}$, которое получит лед, состоит из трех этапов:

а) Нагревание льда от начальной температуры $t_л$ до температуры плавления $t_{пл} = 0 \text{°C}$. Количество теплоты $Q_{2.1}$:

$Q_{2.1} = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_л)$

б) Плавление льда при температуре $t_{пл} = 0 \text{°C}$. Количество теплоты $Q_{2.2}$:

$Q_{2.2} = \lambda \cdot m_л$

в) Нагревание воды, образовавшейся из расплавленного льда, от $t_{пл} = 0 \text{°C}$ до конечной температуры $t_к$. Количество теплоты $Q_{2.3}$:

$Q_{2.3} = c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_{пл})$

Суммарное количество теплоты, полученное льдом:

$Q_{полученное} = Q_{2.1} + Q_{2.2} + Q_{2.3}$

$Q_{полученное} = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_л) + \lambda \cdot m_л + c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_{пл})$

Вынесем $m_л$ за скобки:

$Q_{полученное} = m_л \cdot (c_л(t_{пл} - t_л) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл}))$

Теперь приравняем отданную и полученную теплоту:

$c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к) = m_л \cdot (c_л(t_{пл} - t_л) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл}))$

Выразим искомую массу льда $m_л$:

$m_л = \frac{c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к)}{c_л(t_{пл} - t_л) + \lambda + c_в(t_к - t_{пл})}$

Подставим числовые значения в СИ:

$m_л = \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.6 \text{ кг} \cdot (80\text{°C} - 50\text{°C})}{2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0\text{°C} - (-15\text{°C})) + 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (50\text{°C} - 0\text{°C})}$

Проведем вычисления:

$m_л = \frac{4200 \cdot 0.6 \cdot 30}{2100 \cdot 15 + 330000 + 4200 \cdot 50} \text{ кг}$

$m_л = \frac{75600}{31500 + 330000 + 210000} \text{ кг}$

$m_л = \frac{75600}{571500} \text{ кг} \approx 0.13228 \text{ кг}$

Переведем результат в граммы и округлим:

$m_л \approx 0.132 \text{ кг} \cdot 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} \approx 132 \text{ г}$

Ответ: нужно добавить примерно 132 г льда.