Номер 130, страница 73 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Уравнение теплового баланса (плавление, кристаллизация) - номер 130, страница 73.

Условие.

130. До какой температуры следует нагреть железный кубик, чтобы он полностью погрузился в лед? Начальная температура льда $0^\circ C$.

Решение.

Дано:

Начальная температура льда: $t_{л} = 0 \text{ °C}$

Конечная температура системы: $t_{к} = 0 \text{ °C}$

Удельная теплоемкость железа (табличное значение): $c_{ж} = 450 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Плотность железа (табличное значение): $\rho_{ж} = 7800 \frac{кг}{м^3}$

Плотность льда (табличное значение): $\rho_{л} = 900 \frac{кг}{м^3}$

Удельная теплота плавления льда (табличное значение): $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Начальную температуру железного кубика $t_{ж}$.

Решение:

Для того чтобы железный кубик полностью погрузился в лед, он должен растопить объем льда, равный собственному объему. Пусть объем кубика равен $\text{V}$.

Количество теплоты, которое отдаст железный кубик при остывании от начальной температуры $t_{ж}$ до конечной температуры $t_{к} = 0 \text{ °C}$, определяется по формуле:

$Q_{отд} = c_{ж} \cdot m_{ж} \cdot (t_{ж} - t_{к})$

Масса железного кубика $m_{ж}$ выражается через его плотность $\rho_{ж}$ и объем $\text{V}$ как $m_{ж} = \rho_{ж} \cdot V$. Подставив это в формулу, получим:

$Q_{отд} = c_{ж} \cdot \rho_{ж} \cdot V \cdot (t_{ж} - 0) = c_{ж} \rho_{ж} V t_{ж}$

Это количество теплоты пойдет на плавление льда. Масса льда $m_{л}$, которую необходимо растопить, равна произведению плотности льда $\rho_{л}$ на объем кубика $\text{V}$ (так как кубик должен погрузиться полностью):

$m_{л} = \rho_{л} \cdot V$

Количество теплоты, необходимое для плавления этой массы льда (который уже находится при температуре плавления), вычисляется по формуле:

$Q_{получ} = \lambda \cdot m_{л} = \lambda \cdot \rho_{л} \cdot V$

На основании закона сохранения энергии (уравнения теплового баланса) приравняем количество отданной и полученной теплоты:

$Q_{отд} = Q_{получ}$

$c_{ж} \rho_{ж} V t_{ж} = \lambda \rho_{л} V$

В обеих частях уравнения присутствует объем кубика $\text{V}$, на который можно сократить:

$c_{ж} \rho_{ж} t_{ж} = \lambda \rho_{л}$

Из этого уравнения выразим искомую начальную температуру железного кубика $t_{ж}$:

$t_{ж} = \frac{\lambda \cdot \rho_{л}}{c_{ж} \cdot \rho_{ж}}$

Подставим табличные значения физических величин и произведем расчет:

$t_{ж} = \frac{3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 900 \frac{кг}{м^3}}{450 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 7800 \frac{кг}{м^3}} = \frac{297000000}{3510000} \text{ °C} \approx 84,6 \text{ °C}$

Ответ: железный кубик следует нагреть до температуры примерно $84,6 \text{ °C}$.