Номер 272, страница 94 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Сила тока. Напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 272, страница 94.

Условие.

272. Цепь собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров (см. рисунок). Показания первого вольтметра $V_1$ 10 В, третьего $V_3$ – 8 В. Найдите показания второго вольтметра $V_2$.

Решение.

Дано:

Цепь из трех одинаковых резисторов с сопротивлением $\text{R}$ и трех одинаковых вольтметров с внутренним сопротивлением $R_V$.

Показания первого вольтметра $U_1 = 10 \text{ В}$.

Показания третьего вольтметра $U_3 = 8 \text{ В}$.

Найти:

Показания второго вольтметра $U_2$.

Решение:

Из схемы следует, что вольтметры подключены между узлами на верхней линии и общей нижней линией. Таким образом, они измеряют потенциалы этих узлов относительно нижнего провода, потенциал которого можно принять за ноль. Обозначим показания вольтметров $U_1$, $U_2$, $U_3$ как потенциалы соответствующих узлов.

Применим первое правило Кирхгофа (закон токов) для узлов с потенциалами $U_2$ и $U_3$.

Для узла с потенциалом $U_3$:

Ток, протекающий через третий резистор ($I_{R3}$), равен току, протекающему через третий вольтметр ($I_{V3}$). Напряжение на третьем резисторе равно разности потенциалов $U_2 - U_3$.

$I_{R3} = \frac{U_2 - U_3}{R}$

Ток через третий вольтметр равен:

$I_{V3} = \frac{U_3}{R_V}$

Приравнивая токи, получаем первое уравнение:

$\frac{U_2 - U_3}{R} = \frac{U_3}{R_V}$ (1)

Для узла с потенциалом $U_2$:

Ток, приходящий от второго резистора ($I_{R2}$), разветвляется на ток через второй вольтметр ($I_{V2}$) и ток, уходящий на третий резистор ($I_{R3}$).

$I_{R2} = I_{V2} + I_{R3}$

Напряжение на втором резисторе равно $U_1 - U_2$, поэтому ток через него:

$I_{R2} = \frac{U_1 - U_2}{R}$

Ток через второй вольтметр:

$I_{V2} = \frac{U_2}{R_V}$

Подставляя выражения для токов, получаем второе уравнение:

$\frac{U_1 - U_2}{R} = \frac{U_2}{R_V} + \frac{U_2 - U_3}{R}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из уравнения (1) выразим отношение сопротивлений:

$\frac{R}{R_V} = \frac{U_2 - U_3}{U_3}$ (3)

Преобразуем уравнение (2):

$\frac{U_1 - U_2 - (U_2 - U_3)}{R} = \frac{U_2}{R_V}$

$\frac{U_1 - 2U_2 + U_3}{R} = \frac{U_2}{R_V}$

Отсюда также выразим отношение сопротивлений:

$\frac{R}{R_V} = \frac{U_1 - 2U_2 + U_3}{U_2}$ (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4):

$\frac{U_2 - U_3}{U_3} = \frac{U_1 - 2U_2 + U_3}{U_2}$

Решим это уравнение относительно $U_2$:

$U_2(U_2 - U_3) = U_3(U_1 - 2U_2 + U_3)$

$U_2^2 - U_2 U_3 = U_1 U_3 - 2U_2 U_3 + U_3^2$

$U_2^2 + U_2 U_3 - (U_1 U_3 + U_3^2) = 0$

Подставим известные значения $U_1 = 10 \text{ В}$ и $U_3 = 8 \text{ В}$:

$U_2^2 + 8U_2 - (10 \cdot 8 + 8^2) = 0$

$U_2^2 + 8U_2 - (80 + 64) = 0$

$U_2^2 + 8U_2 - 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу для корней:

$U_2 = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 576}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{640}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$.

$U_2 = \frac{-8 \pm 8\sqrt{10}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{10}$

Так как показания вольтметра должны быть положительной величиной, выбираем корень со знаком «плюс»:

$U_2 = 4\sqrt{10} - 4 = 4(\sqrt{10} - 1) \text{ В}$.

Ответ: Показания второго вольтметра равны $4(\sqrt{10} - 1) \text{ В}$.