Номер 1644, страница 190 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 57. Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона - номер 1644, страница 190.

Решение.

Для того чтобы велосипедист не упал в верхней точке "мёртвой петли", его скорость должна быть достаточно большой. Рассмотрим силы, действующие на велосипедиста в верхней точке траектории.

В этой точке на систему "велосипедист + велосипед" действуют две силы, направленные вертикально вниз, к центру окружности:

• Сила тяжести, $m\vec{g}$, где $\text{m}$ — общая масса, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
• Сила нормальной реакции опоры, $\vec{N}$, со стороны трека.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, которое также направлено к центру окружности (вниз). В проекции на вертикальную ось, направленную вниз, уравнение движения имеет вид:

$N + mg = ma_c$

Центростремительное ускорение зависит от скорости $\text{v}$ и радиуса петли $\text{R}$ по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим это выражение в уравнение сил:

$N + mg = \frac{mv^2}{R}$

Велосипедист не падает и не отрывается от трека до тех пор, пока существует сила реакции опоры, то есть пока он прижат к треку. Математически это условие выражается как $N \ge 0$.

Из уравнения можно выразить силу реакции опоры:

$N = \frac{mv^2}{R} - mg = m(\frac{v^2}{R} - g)$

Из этой формулы видно, что если скорость $\text{v}$ достаточно велика, то член $\frac{v^2}{R}$ будет больше, чем $\text{g}$. В этом случае сила реакции опоры $\text{N}$ будет положительной. Это означает, что для того, чтобы заставить велосипедиста двигаться по круговой траектории, одной силы тяжести недостаточно. Требуется дополнительная сила со стороны трека, которая и прижимает велосипедиста к его поверхности, не давая ему упасть.

Минимальная скорость, при которой велосипедист ещё сможет пройти верхнюю точку, соответствует случаю, когда он почти теряет контакт с треком, то есть $N=0$. В этом случае:

$mg = \frac{mv_{min}^2}{R}$

Отсюда минимальная скорость $v_{min} = \sqrt{gR}$. Если скорость велосипедиста в верхней точке больше этого значения, он благополучно преодолеет петлю.

Ответ: Велосипедист не падает в верхней точке петли, так как при движении с достаточно большой скоростью его инерция заставляет его стремиться двигаться по прямой. Однако трек искривляет траекторию, заставляя его двигаться по окружности. Для этого необходимо центростремительное ускорение, которое в верхней точке направлено вертикально вниз. Это ускорение создается суммой двух сил: силы тяжести и силы реакции опоры трека. Если скорость велика, то требуемое центростремительное ускорение ($a_c = v^2/R$) оказывается больше ускорения свободного падения ($\text{g}$). В этом случае одной силы тяжести недостаточно, и трек дополнительно давит на велосипедиста с силой реакции опоры $\text{N}$, которая "прижимает" его к поверхности, не давая упасть.