Номер 1724, страница 202 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Механические колебания и волны. 61. Колебания. Величины, характеризующие колебательное движение. Превращения энергии при колебаниях маятника. Резонанс. Волны. Скорость распространения волны - номер 1724, страница 202.

Решение.

Решение

Фаза колебаний — это величина, определяющая состояние колебательной системы в данный момент времени. Для гармонических колебаний, описываемых уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, фазой является аргумент косинуса $\Phi(t) = \omega t + \phi_0$. Разность фаз $\Delta\Phi$ двух колебаний определяет их взаимное поведение.

Пусть колебания первого маятника описываются уравнением $x_1(t) = A \cos(\omega t)$. Его фаза $\Phi_1(t) = \omega t$, а скорость $v_1(t) = x'_1(t) = -A\omega \sin(\omega t)$.

1) на период

Второй маятник начинает колебаться с опозданием на время $\Delta t = T$, где $\text{T}$ — период колебаний. Его движение описывается уравнением $x_2(t) = A \cos(\omega(t-T))$.

Поскольку циклическая частота $\omega = 2\pi/T$, то $\omega T = 2\pi$. Тогда уравнение движения второго маятника принимает вид:

$x_2(t) = A \cos(\omega t - \omega T) = A \cos(\omega t - 2\pi)$

Так как функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $x_2(t) = A \cos(\omega t) = x_1(t)$. Это означает, что в любой момент времени смещения маятников от положения равновесия одинаковы.

Фаза первого маятника $\Phi_1(t) = \omega t$, а второго — $\Phi_2(t) = \omega t - 2\pi$. Разность фаз $\Delta\Phi = \Phi_1(t) - \Phi_2(t) = \omega t - (\omega t - 2\pi) = 2\pi$. Разность фаз, кратная $2\pi$, означает, что колебания происходят в одной фазе (синфазно).

Скорость второго маятника: $v_2(t) = x'_2(t) = -A\omega \sin(\omega t)$.

Сравнивая скорости, получаем $v_1(t) = v_2(t)$. Векторы скоростей маятников в любой момент времени равны, то есть они сонаправлены и равны по модулю.

Ответ: Маятники колеблются в одинаковой фазе (синфазно). В любой момент времени их скорости сонаправлены и равны по величине.

2) на полпериода

Второй маятник начинает колебаться с опозданием на время $\Delta t = T/2$. Его движение описывается уравнением $x_2(t) = A \cos(\omega(t-T/2))$.

Поскольку $\omega (T/2) = (2\pi/T) \cdot (T/2) = \pi$, уравнение движения второго маятника принимает вид:

$x_2(t) = A \cos(\omega t - \pi)$

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$, получаем $x_2(t) = -A \cos(\omega t) = -x_1(t)$. Это означает, что в любой момент времени смещения маятников от положения равновесия равны по величине, но противоположны по знаку.

Фаза первого маятника $\Phi_1(t) = \omega t$, а второго — $\Phi_2(t) = \omega t - \pi$. Разность фаз $\Delta\Phi = \Phi_1(t) - \Phi_2(t) = \omega t - (\omega t - \pi) = \pi$. Разность фаз, равная нечетному числу $\pi$, означает, что колебания происходят в противофазе.

Скорость второго маятника: $v_2(t) = x'_2(t) = \frac{d}{dt}(-A \cos(\omega t)) = A\omega \sin(\omega t)$.

Сравнивая скорости, получаем $v_2(t) = -v_1(t)$. Векторы скоростей маятников в любой момент времени равны по модулю, но направлены в противоположные стороны.

Ответ: Маятники колеблются в противофазе. В любой момент времени их скорости направлены в противоположные стороны.