Номер 780, страница 86 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Тепловые явления. 31. Количество теплоты. Единицы количества теплоты. Удельная теплоёмкость. Расчёт количества теплоты, сообщённого телу при его нагревании или выделяемого при его охлаждении - номер 780, страница 86.

Решение.

Дано:

$m_1 = 0,02 \text{ кг}$
$t_1 = 15 \text{ °C}$
$m_2 = 0,03 \text{ кг}$
$t_2 = 25 \text{ °C}$
$m_3 = 0,01 \text{ кг}$
$t_3 = 60 \text{ °C}$
$c \approx 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

Все данные уже представлены в единицах, подходящих для расчета (масса в кг — единица СИ, температура в °C). Перевод в другие единицы не требуется, так как искомый результат также будет выражен в °C.

Найти:

$\theta$ — конечная температура смеси.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. При смешивании нескольких количеств жидкости разной температуры в изолированной системе (без потерь тепла в окружающую среду) суммарное количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно суммарному количеству теплоты, полученному менее нагретыми. Алгебраическая сумма количеств теплоты для всех тел в такой системе равна нулю.

$$ Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 $$

Здесь $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ — количества теплоты, полученные или отданные каждой порцией воды. Количество теплоты, необходимое для изменения температуры тела, вычисляется по формуле:

$$ Q = m \cdot c \cdot (t_{конечная} - t_{начальная}) $$

Обозначим конечную температуру смеси как $\theta$. Тогда уравнение теплового баланса примет вид:

$$ m_1 c (\theta - t_1) + m_2 c (\theta - t_2) + m_3 c (\theta - t_3) = 0 $$

Поскольку удельная теплоемкость воды $\text{c}$ для всех порций одинакова, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{c}$:

$$ m_1 (\theta - t_1) + m_2 (\theta - t_2) + m_3 (\theta - t_3) = 0 $$

Теперь раскроем скобки и выразим искомую температуру $\theta$:

$$ m_1\theta - m_1t_1 + m_2\theta - m_2t_2 + m_3\theta - m_3t_3 = 0 $$

Сгруппируем слагаемые с $\theta$:

$$ \theta(m_1 + m_2 + m_3) = m_1t_1 + m_2t_2 + m_3t_3 $$

Отсюда находим формулу для конечной температуры:

$$ \theta = \frac{m_1t_1 + m_2t_2 + m_3t_3}{m_1 + m_2 + m_3} $$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$$ \theta = \frac{(0,02 \text{ кг} \cdot 15 \text{ °C}) + (0,03 \text{ кг} \cdot 25 \text{ °C}) + (0,01 \text{ кг} \cdot 60 \text{ °C})}{0,02 \text{ кг} + 0,03 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}} $$

Выполним вычисления:

$$ \theta = \frac{0,3 + 0,75 + 0,6}{0,06} \text{ °C} $$

$$ \theta = \frac{1,65}{0,06} \text{ °C} $$

$$ \theta = 27,5 \text{ °C} $$

Ответ: конечная температура воды в смеси составит 27,5 °C.