Страница 187 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. Что называют рычагом? Приведите примеры рычагов.

Рычаг — это простейший механизм, представляющий собой твёрдое тело (например, стержень, балка или доска), которое может вращаться вокруг неподвижной точки, называемой точкой опоры. Основное предназначение рычага — преобразование силы, то есть получение выигрыша в силе (когда малой силой преодолевают большую) или в расстоянии за счёт проигрыша в силе.

Для описания работы рычага используют понятия плеча силы и момента силы. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии, вдоль которой действует сила. Момент силы — это физическая величина, равная произведению модуля силы на её плечо. Формула момента силы: $M = F \cdot l$. Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов сил, вращающих его по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки (правило моментов).

Примеры рычагов встречаются повсеместно:

В быту и технике: качели-балансир, лом, гвоздодёр, тачка, открывалка для бутылок, ножницы и кусачки (состоят из двух соединённых рычагов), весы, шлагбаум, весло лодки, педали (велосипеда, автомобиля), клавиши пианино.

В живой природе (биомеханика): многие кости в скелете человека и животных действуют как рычаги. Например, предплечье, где локтевой сустав является точкой опоры, а мышцы (бицепс) создают усилие для поднятия груза в руке. Также примерами являются стопа человека при подъёме на носки и работа челюсти.

Ответ: Рычаг — это твёрдое тело, имеющее точку опоры и способное вращаться вокруг неё, используемое для преобразования силы. Примерами рычагов служат лом, ножницы, качели, тачка, весло, а также кости конечностей и челюсти в скелете живых организмов.

2. Дайте определение плеча силы.

Что называют рычагом? Приведите примеры рычагов.

Рычаг — это один из простейших механизмов, представляющий собой твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки, называемой точкой опоры или осью вращения. Рычаги применяются для преобразования силы и/или перемещения. То есть, прикладывая меньшую силу к длинному концу рычага, можно поднять большой груз, приложенный к короткому концу, получая выигрыш в силе.

Примеры рычагов в быту, технике и природе многочисленны. Бытовые примеры: ножницы, качели-балансир, плоскогубцы, тачка, открывалка для бутылок, дверная ручка. Технические примеры: ломик, шлагбаум, весы, вёсла лодки, педали велосипеда. Примеры в живой природе: конечности животных и человека (например, предплечье, работающее как рычаг при поднятии груза), челюсти.

Ответ: Рычагом называют твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Примерами рычагов являются ножницы, качели, ломик, тачка.

2. Дайте определение плеча силы.

Плечо силы — это физическая величина, являющаяся ключевой характеристикой для описания вращательного действия силы. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения тела до линии действия силы. Геометрически это длина перпендикуляра, проведённого из точки опоры (оси вращения) на прямую, вдоль которой направлена сила.

Плечо силы обычно обозначается буквой $l$ или $d$ и измеряется в метрах (СИ). Величина момента силы $M$ прямо пропорциональна как самой силе $F$, так и её плечу $l$: $M = F \cdot l$.

Ответ: Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

3. Составьте правило нахождения плеча силы.

Для того чтобы правильно найти плечо силы, необходимо следовать определённому алгоритму (правилу). Во-первых, нужно найти и обозначить на схеме или рисунке точку опоры (ось вращения) рычага. Во-вторых, следует нарисовать вектор силы, действующей на рычаг, и продолжить его в обе стороны, получив таким образом прямую линию, называемую линией действия силы. В-третьих, из точки опоры нужно опустить перпендикуляр на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра и будет являться плечом данной силы.

Важно помнить, что если линия действия силы проходит через саму ось вращения, то плечо такой силы равно нулю, и эта сила не создаёт вращающего момента.

Ответ: Чтобы найти плечо силы, нужно провести линию действия силы и из точки опоры опустить на эту линию перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра и будет искомым плечом силы.

3. Составьте правило нахождения плеча силы.

определение плеча силы.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения (точки опоры) рычага до линии, вдоль которой действует сила. Плечо силы всегда перпендикулярно линии действия силы. Обозначается обычно буквой $d$ или $l$.

Ответ: Плечо силы — это длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

3. Составьте правило нахождения плеча силы.

Чтобы найти плечо силы, необходимо выполнить следующие действия:
1. Определить точку опоры (ось вращения) рычага.
2. Провести прямую линию, вдоль которой направлен вектор силы (это называется линией действия силы).
3. Из точки опоры опустить перпендикуляр на линию действия силы.
4. Длина этого перпендикуляра и есть плечо силы.

Ответ: Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры опустить перпендикуляр на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра будет являться плечом данной силы.

4. Сформулируйте правило равновесия рычага.

Рычаг находится в состоянии равновесия, когда моменты сил, вращающие его в одном направлении (например, по часовой стрелке), равны по модулю моментам сил, вращающим его в противоположном направлении (против часовой стрелки).
Момент силы ($M$) — это физическая величина, равная произведению модуля силы ($F$), вращающей тело, на её плечо ($d$):
$M = F \cdot d$
Если на концы рычага действуют две силы $F_1$ и $F_2$ с плечами $d_1$ и $d_2$ соответственно, то условие равновесия рычага записывается в виде формулы:
$M_1 = M_2$ или $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
Это правило можно сформулировать и так: рычаг находится в равновесии, если действующие на него силы обратно пропорциональны их плечам:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}$

Ответ: Рычаг находится в равновесии, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил, что выражается формулой $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$.

4. Сформулируйте правило равновесия рычага.

Правило равновесия рычага — это фундаментальный принцип статики, который описывает условие, при котором рычаг, имеющий неподвижную точку опоры (ось вращения), не вращается под действием приложенных к нему сил.

Существует две эквивалентные формулировки этого правила.

1. Классическая формулировка. Рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии, вдоль которой действует сила.

Для двух сил $F_1$ и $F_2$ с плечами $l_1$ и $l_2$ соответственно, это правило математически записывается так:
$ \frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1} $

2. Формулировка через моменты сил (правило моментов). Эта формулировка является более общей. Рычаг находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на него относительно точки опоры, равна нулю.

Момент силы ($M$) — это физическая величина, равная произведению модуля силы ($F$) на её плечо ($l$):
$ M = F \cdot l $

Для случая, когда две силы стремятся повернуть рычаг в противоположные стороны, правило моментов сводится к тому, что вращающий момент в одну сторону (например, по часовой стрелке) должен быть равен по величине вращающему моменту в противоположную сторону (против часовой стрелки):
$ M_1 = M_2 $
Раскрывая моменты, получаем:
$ F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2 $
Это равенство является альтернативной записью классической формулировки.

Ответ: Рычаг находится в равновесии, если силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил ($\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}$), или, что эквивалентно, когда момент силы, вращающий рычаг по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающему его против часовой стрелки ($F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$).

1. Когда палку держат в руках за концы, то её трудно переломить. Если же середину палки положить на подставку, то переломить палку будет легче. Почему?

Это явление объясняется принципом рычага и понятием момента силы.

Когда мы пытаемся переломить палку, нам необходимо создать в точке излома достаточно большой изгибающий момент силы. Момент силы $M$ определяется как произведение приложенной силы $F$ на её плечо $d$ (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

$M = F \cdot d$

Рассмотрим два случая:

1. Когда палку держат в руках за концы. В этом случае, чтобы её сломать (например, сгибая), мы прикладываем силы своими руками. Здесь нет выраженной точки опоры, и мы не используем длинный рычаг для увеличения силы. Эффективное плечо силы очень мало, поэтому для создания необходимого для излома момента силы требуется приложить очень большую силу.

2. Когда середина палки лежит на подставке. В этой ситуации палка превращается в два рычага с общей точкой опоры (фулькрумом) на подставке. Когда мы давим на концы палки, мы прикладываем силу на значительном расстоянии от точки опоры. Это расстояние — от конца палки до середины (подставки) — и есть плечо силы $d$. Оно равно половине длины палки. Благодаря большому плечу силы, даже небольшое усилие $F$, приложенное к концам, создает в центре палки (на опоре) большой изгибающий момент силы $M$. Этот момент оказывается достаточным, чтобы преодолеть прочность материала и сломать палку.

Таким образом, во втором случае мы получаем значительный выигрыш в силе за счет использования рычага.

Ответ: Когда середина палки лежит на подставке, палка работает как рычаг. Подставка является точкой опоры, а расстояние от точки приложения силы (руки) до опоры — плечом рычага. Большое плечо рычага позволяет создать значительный момент силы даже при небольшом усилии, что и приводит к излому палки. В первом же случае эффективное плечо силы мало, и для излома требуется гораздо большее усилие.

2. Докажите, что равноплечий рычаг не даёт выигрыша в силе.

2. Дано:

Равноплечий рычаг, находящийся в равновесии. Это означает, что плечи сил, приложенных к рычагу, равны: $l_1 = l_2$.

Доказать:

Равноплечий рычаг не даёт выигрыша в силе. Выигрыш в силе определяется как отношение силы сопротивления ($F_2$) к приложенной силе ($F_1$). Требуется доказать, что это отношение равно единице: $\frac{F_2}{F_1} = 1$.

Решение:

Воспользуемся правилом равновесия рычага. Рычаг находится в равновесии, когда момент силы, вращающей его в одном направлении, равен моменту силы, вращающей его в противоположном направлении. Математически это выражается формулой:

$M_1 = M_2$

Момент силы ($M$) — это произведение модуля силы ($F$) на её плечо ($l$), то есть $M = F \cdot l$. Следовательно, условие равновесия можно записать в виде:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Здесь $F_1$ и $F_2$ — силы, приложенные к рычагу, а $l_1$ и $l_2$ — соответствующие им плечи (кратчайшие расстояния от точки опоры до линии действия силы).

По условию задачи, мы имеем дело с равноплечим рычагом, для которого плечи равны:

$l_1 = l_2$

Подставим это условие в уравнение равновесия:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_1$

Так как длина плеча рычага не может быть равна нулю ($l_1 \ne 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $l_1$, получив:

$F_1 = F_2$

Это равенство показывает, что приложенная сила равна силе сопротивления. Теперь найдём выигрыш в силе, который является отношением этих сил:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{F_1}{F_1} = 1$

Поскольку выигрыш в силе равен 1, это означает, что равноплечий рычаг не даёт выигрыша в силе. Он может быть использован только для изменения направления приложения силы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Согласно условию равновесия рычага $F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$, для равноплечего рычага, у которого $l_1 = l_2$, силы также должны быть равны, $F_1 = F_2$. Отношение сил $\frac{F_2}{F_1}$ равно 1, что доказывает отсутствие выигрыша в силе.

1. К концам рычага, находящегося в равновесии, приложены вертикальные силы 25 и 15 Н. Длинное плечо рычага равно 15 см. Какова длина короткого плеча?

1. Дано:

$F_1 = 25 \text{ Н}$
$F_2 = 15 \text{ Н}$
$l_{длин} = 15 \text{ см}$

$15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$l_{корот} - ?$

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующих на него, должны уравновешивать друг друга. Условие равновесия рычага (правило моментов) записывается в виде формулы:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

где $F_1$ и $F_2$ — это силы, приложенные к рычагу, а $l_1$ и $l_2$ — плечи этих сил (кратчайшие расстояния от точки опоры до линии действия силы).

Согласно правилу рычага, для сохранения равновесия к большему плечу должна быть приложена меньшая сила, а к меньшему плечу — большая сила.

В данной задаче большая сила $F_{большая} = 25 \text{ Н}$, а меньшая сила $F_{меньшая} = 15 \text{ Н}$. Длинное плечо рычага равно $l_{длин} = 15 \text{ см}$. Оно соответствует меньшей силе. Короткое плечо $l_{корот}$, длину которого нужно найти, соответствует большей силе.

Обозначим большую силу и соответствующее ей короткое плечо как $F_1$ и $l_1$:

$F_1 = 25 \text{ Н}$, $l_1 = l_{корот}$

Меньшую силу и соответствующее ей длинное плечо обозначим как $F_2$ и $l_2$:

$F_2 = 15 \text{ Н}$, $l_2 = l_{длин} = 0.15 \text{ м}$

Подставим значения в уравнение равновесия:

$25 \text{ Н} \cdot l_{корот} = 15 \text{ Н} \cdot 0.15 \text{ м}$

Выразим из формулы искомую величину $l_{корот}$:

$l_{корот} = \frac{15 \text{ Н} \cdot 0.15 \text{ м}}{25 \text{ Н}}$

Проведем расчет:

$l_{корот} = \frac{2.25}{25} \text{ м} = 0.09 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах:

$0.09 \text{ м} = 9 \text{ см}$

Ответ: длина короткого плеча равна 9 см.

2. На концы рычага действуют вертикальные силы 8 и 40 Н. Длина рычага 90 см. Где расположена точка опоры, если рычаг находится в равновесии? Выполните рисунок.

Дано:

$F_1 = 8$ Н

$F_2 = 40$ Н

$L = 90$ см $= 0.9$ м

Найти:

$d_1$ — ?, $d_2$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся условием равновесия рычага. Рычаг находится в равновесии, если моменты сил, вращающие его по часовой стрелке, равны моментам сил, вращающим его против часовой стрелки.

Момент силы $M$ вычисляется как произведение модуля силы $F$ на её плечо $d$: $M = F \cdot d$.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы.

Пусть $d_1$ — плечо меньшей силы $F_1$, а $d_2$ — плечо большей силы $F_2$. Тогда условие равновесия рычага можно записать в виде:

$M_1 = M_2$

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

По условию, общая длина рычага $L$ составляет 90 см. Точка опоры находится между точками приложения сил, поэтому сумма длин плеч равна длине рычага:

$d_1 + d_2 = L$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} F_1 d_1 = F_2 d_2 \\ d_1 + d_2 = L \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $d_2$: $d_2 = L - d_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$F_1 d_1 = F_2 (L - d_1)$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$8 \cdot d_1 = 40 \cdot (0.9 - d_1)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d_1$:

$8 d_1 = 36 - 40 d_1$

$8 d_1 + 40 d_1 = 36$

$48 d_1 = 36$

$d_1 = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0.75$ м

Теперь найдем длину второго плеча $d_2$:

$d_2 = L - d_1 = 0.9 - 0.75 = 0.15$ м

Переведем найденные значения в сантиметры:

$d_1 = 0.75$ м $= 75$ см

$d_2 = 0.15$ м $= 15$ см

Таким образом, точка опоры должна быть расположена на расстоянии 75 см от точки приложения силы 8 Н и 15 см от точки приложения силы 40 Н.

Рисунок, иллюстрирующий расположение сил и точки опоры:

Ответ: точка опоры расположена на расстоянии 75 см от конца, к которому приложена сила 8 Н, и на расстоянии 15 см от конца, к которому приложена сила 40 Н.

3. На рычаге уравновешены две гири разной массы, но изготовленные из одного материала. Изменится ли равновесие рычага, если обе гири поместить в воду?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать условие равновесия рычага в воздухе и в воде, используя закон Архимеда и правило моментов.

Решение

Пусть массы гирь равны $m_1$ и $m_2$, а плечи рычага, на которых они подвешены, равны $l_1$ и $l_2$ соответственно. По условию, массы гирь различны ($m_1 \neq m_2$), но они изготовлены из одного материала, а значит, их плотность $\rho_{гири}$ одинакова.

Изначально, когда гири находятся в воздухе, рычаг уравновешен. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Силы, действующие на гири, — это их силы тяжести $F_1 = m_1g$ и $F_2 = m_2g$. Моменты этих сил $M_1$ и $M_2$ равны: $M_1 = F_1 l_1 = m_1 g l_1$
$M_2 = F_2 l_2 = m_2 g l_2$

Поскольку рычаг находится в равновесии, моменты сил равны: $M_1 = M_2$.
$m_1 g l_1 = m_2 g l_2$
Сократив на ускорение свободного падения $g$, получаем основное соотношение для начального состояния:
$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Теперь поместим обе гири в воду. На каждую гирю, помимо силы тяжести, начнет действовать выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вертикально вверх. Плотность воды обозначим как $\rho_{воды}$.

Величина силы Архимеда, действующей на каждую гирю, определяется по формуле $F_A = \rho_{воды} g V$, где $V$ — объем погруженной части тела. Так как гири погружены полностью, $V$ — это их полный объем. Объем каждой гири можно выразить через ее массу и плотность: $V = \frac{m}{\rho_{гири}}$.
Таким образом, силы Архимеда для первой и второй гири равны:
$F_{A1} = \rho_{воды} g V_1 = \rho_{воды} g \frac{m_1}{\rho_{гири}}$
$F_{A2} = \rho_{воды} g V_2 = \rho_{воды} g \frac{m_2}{\rho_{гири}}$

В воде на рычаг будут действовать силы, равные весу гирь в воде, $P'$. Этот вес равен разности силы тяжести и силы Архимеда:
$P'_1 = m_1 g - F_{A1} = m_1 g - \rho_{воды} g \frac{m_1}{\rho_{гири}} = m_1 g (1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{гири}})$
$P'_2 = m_2 g - F_{A2} = m_2 g - \rho_{воды} g \frac{m_2}{\rho_{гири}} = m_2 g (1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{гири}})$

Новые моменты сил, действующие на рычаг после погружения гирь в воду, будут равны:
$M'_1 = P'_1 l_1 = m_1 g l_1 (1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{гири}})$
$M'_2 = P'_2 l_2 = m_2 g l_2 (1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{гири}})$

Теперь сравним новые моменты $M'_1$ и $M'_2$. Мы знаем, что изначальные моменты были равны: $m_1 g l_1 = m_2 g l_2$. Выражения для новых моментов получены путем умножения исходных моментов на один и тот же коэффициент $k = (1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{гири}})$.
Так как $m_1 g l_1 = m_2 g l_2$, то и $m_1 g l_1 \cdot k = m_2 g l_2 \cdot k$.
Следовательно, $M'_1 = M'_2$.

Поскольку моменты сил, действующих на плечи рычага, остались равными друг другу, рычаг по-прежнему будет находиться в равновесии.

Ответ: Равновесие рычага не изменится.