Страница 193 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. Запишите соотношение между силами, действующими на рычаг, и расстояниями, пройденными точками приложения этих сил (см. рис. 186) при повороте рычага.

Запишите соотношение между силами, действующими на рычаг, и расстояниями, пройденными точками приложения этих сил (см. рис. 186) при повороте рычага.

При повороте рычага, находящегося в равновесии, точки приложения сил проходят пути (дуги окружностей $s_1$ и $s_2$), которые обратно пропорциональны модулям этих сил ($F_1$ и $F_2$). Это соотношение вытекает из правила равновесия рычага и геометрических соображений.

Правило равновесия рычага гласит, что силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}$

где $l_1$ и $l_2$ — плечи сил (расстояния от оси вращения до линий действия сил).

При повороте рычага на один и тот же угол точки приложения сил проходят пути $s_1$ и $s_2$, которые прямо пропорциональны плечам сил:

$\frac{s_1}{s_2} = \frac{l_1}{l_2}$

Сопоставляя эти два выражения (выразив, например, $\frac{l_1}{l_2}$ из второго и подставив в первое), мы получаем искомое соотношение между силами и пройденными расстояниями:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{s_2}{s_1}$

Данное равенство также означает, что работа, совершаемая одной силой, равна работе, совершаемой другой силой (в идеальном случае без трения): $A_1 = F_1 s_1$ и $A_2 = F_2 s_2$, следовательно $A_1 = A_2$. Таким образом, рычаг не даёт выигрыша в работе.

Ответ: Соотношение между силами, действующими на рычаг, и расстояниями, пройденными точками их приложения, выражается формулой: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{s_2}{s_1}$.

2. В чём состоит «золотое правило» механики?

«Золотое правило» механики — это фундаментальный принцип, применимый ко всем простым механизмам (рычагам, блокам, наклонной плоскости и т.д.). Оно гласит, что при использовании любого простого механизма невозможно получить выигрыш в работе. В идеальном механизме, где отсутствуют силы трения и другие потери энергии, совершённая работа в точности равна полезной работе.

Правило часто формулируют так: во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. Это означает, что если механизм позволяет преодолеть большую силу (например, поднять тяжелый груз) с помощью меньшей силы (выигрыш в силе), то точка приложения меньшей силы должна пройти путь, который во столько же раз больше пути, пройденного точкой приложения большей силы (проигрыш в расстоянии).

Математически для идеального механизма это выражается как равенство работ:

$A_{совершённая} = A_{полезная}$

Или, раскрывая понятие работы ($A = F \cdot s$):

$F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2$

где $F_1$ — приложенная сила, а $s_1$ — путь, пройденный точкой ее приложения; $F_2$ — сила сопротивления, а $s_2$ — путь, пройденный точкой ее приложения.

В реальных условиях из-за наличия трения совершённая работа всегда больше полезной.

Ответ: «Золотое правило» механики гласит: во сколько раз мы выигрываем в силе с помощью простого механизма, во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. Это означает, что ни один механизм не даёт выигрыша в работе.

2. В чём состоит «золотое правило» механики?

В чём состоит «золотое правило» механики?

Решение:

«Золотое правило» механики — это фундаментальный принцип, который является следствием закона сохранения энергии и применим ко всем простым механизмам (рычаг, блок, наклонная плоскость и т.д.).

Правило формулируется следующим образом: во сколько раз мы выигрываем в силе с помощью простого механизма, во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. И наоборот, выигрывая в расстоянии, мы во столько же раз проигрываем в силе.

Для идеального механизма, в котором отсутствуют трение и другие потери энергии, «золотое правило» математически выражается как равенство полезной работы $A_п$ и затраченной (полной) работы $A_з$:

$A_п = A_з$

Здесь $A_з = F_1 \cdot s_1$ — это работа, совершаемая приложенной силой $F_1$ на пути $s_1$, а $A_п = F_2 \cdot s_2$ — это работа, которую совершает механизм для преодоления силы сопротивления $F_2$ (например, для подъема груза) на пути $s_2$.

Таким образом, «золотое правило» утверждает, что ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе, а лишь преобразует силу (увеличивая ее за счет проигрыша в расстоянии) или расстояние (увеличивая его за счет проигрыша в силе).

Ответ: «Золотое правило» механики гласит, что при использовании любого простого механизма выигрыш в силе сопровождается равным ему проигрышем в расстоянии (и наоборот), поэтому совершаемая полезная работа в идеальном случае равна затраченной работе, то есть простые механизмы не дают выигрыша в работе.

3. Объясните, почему рычаг не позволяет получить выигрыш в работе?

Решение:

Рычаг не позволяет получить выигрыш в работе, так как он, как и любой другой механизм, подчиняется закону сохранения энергии. «Золотое правило» механики является прямым следствием этого закона. Получить выигрыш в работе означало бы создать энергию, что невозможно.

Рассмотрим работу, совершаемую при использовании рычага. Работа, совершаемая человеком или машиной, прикладывающей силу $F_1$ к одному концу рычага, называется затраченной работой ($A_з$). Работа, которую совершает другой конец рычага для перемещения груза весом $F_2$, называется полезной работой ($A_п$).

1. Идеальный рычаг. В идеализированной модели, где мы пренебрегаем весом самого рычага и трением в его точке опоры, выполняется равенство работ:

$A_з = A_п$

Рычаг дает выигрыш в силе, который определяется соотношением его плеч ($l_1$ и $l_2$): $F_2/F_1 = l_1/l_2$. Однако этот выигрыш в силе неизбежно сопровождается проигрышем в расстоянии. Точка приложения силы $F_1$ (на длинном плече $l_1$) проходит больший путь $s_1$, в то время как груз (на коротком плече $l_2$) перемещается на меньшее расстояние $s_2$. Из геометрии следует, что отношение путей равно отношению плеч:

$s_1/s_2 = l_1/l_2$

Таким образом, во сколько раз мы выигрываем в силе ($l_1/l_2$ раз), ровно во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. Проверим равенство работ:

$A_з = F_1 \cdot s_1$

$A_п = F_2 \cdot s_2$

Выразим $F_1$ и $s_1$ через $F_2$ и $s_2$ из приведенных выше соотношений: $F_1 = F_2 \cdot (l_2/l_1)$ и $s_1 = s_2 \cdot (l_1/l_2)$. Подставим в формулу затраченной работы:

$A_з = (F_2 \cdot \frac{l_2}{l_1}) \cdot (s_2 \cdot \frac{l_1}{l_2}) = F_2 \cdot s_2 = A_п$

Как видно, работы равны, а значит, выигрыша в работе нет.

2. Реальный рычаг. В реальных условиях всегда существуют потери энергии, например, на преодоление силы трения в опоре рычага. Из-за этих потерь часть затраченной работы превращается во внутреннюю энергию (нагрев), а не в полезную работу. Поэтому для реального рычага полезная работа всегда меньше затраченной:

$A_п < A_з$

Коэффициент полезного действия (КПД) реального рычага $\eta = (A_п / A_з)$ всегда меньше 1 (или 100%). Это означает, что в реальности мы не только не получаем выигрыша в работе, но и неизбежно теряем ее часть.

Ответ: Рычаг не позволяет получить выигрыш в работе, потому что он подчиняется закону сохранения энергии («золотому правилу» механики). Выигрыш в силе, который он дает, полностью компенсируется проигрышем в расстоянии, которое проходит точка приложения этой силы. В результате в идеальном случае полезная работа равна затраченной, а в реальном — из-за потерь на трение полезная работа всегда меньше затраченной.

3. Объясните, почему рычаг не позволяет получить выигрыш в работе.

Объясните, почему рычаг не позволяет получить выигрыш в работе.

Рычаг, как и любой другой простой механизм, подчиняется фундаментальному закону физики — закону сохранения энергии. Этот закон в применении к механизмам формулируется как «золотое правило механики», которое гласит: ни один простой механизм не дает выигрыша в работе.

Рассмотрим работу рычага. Работа, совершаемая приложенной силой $F_1$ (затраченная работа $A_з$), равна произведению этой силы на перемещение $h_1$ точки ее приложения: $A_з = F_1 \cdot h_1$. Полезная работа $A_п$ — это работа по поднятию груза с силой тяжести $F_2$ на высоту $h_2$: $A_п = F_2 \cdot h_2$.

Рычаг может давать выигрыш в силе. Согласно условию равновесия рычага, отношение сил обратно пропорционально отношению плеч $d_1$ и $d_2$: ${F_1 \over F_2} = {d_2 \over d_1}$ Из этого следует, что выигрыш в силе равен ${F_2 \over F_1} = {d_1 \over d_2}$. Прикладывая силу к длинному плечу ($d_1 > d_2$), мы получаем выигрыш в силе ($F_2 > F_1$).

Однако выигрывая в силе, мы обязательно проигрываем в расстоянии. Из геометрии рычага следует, что высоты, на которые поднимаются и опускаются концы рычага, прямо пропорциональны плечам: ${h_1 \over h_2} = {d_1 \over d_2}$ Это означает, что во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. Конец длинного плеча проходит больший путь, чем конец короткого.

Теперь сравним затраченную и полезную работу для идеального рычага (без трения в опоре и сопротивления воздуха): $A_з = F_1 \cdot h_1$ $A_п = F_2 \cdot h_2$ Из соотношений выше имеем $F_1 = F_2 \cdot {d_2 \over d_1}$ и $h_1 = h_2 \cdot {d_1 \over d_2}$. Подставим это в формулу для затраченной работы: $A_з = \left( F_2 \cdot {d_2 \over d_1} \right) \cdot \left( h_2 \cdot {d_1 \over d_2} \right) = F_2 \cdot h_2 = A_п$ Таким образом, в идеальном случае затраченная работа равна полезной. Выигрыша в работе нет.

В реальных условиях всегда существует трение в опоре рычага и сопротивление воздуха. На преодоление этих сил совершается дополнительная работа $A_{потерь}$. Поэтому полная затраченная работа всегда будет больше полезной работы: $A_з = A_п + A_{потерь}$ Следовательно, полезная работа ($A_п$) всегда меньше затраченной ($A_з$). Это означает, что в реальности мы не только не получаем выигрыша в работе, но и всегда несем некоторые потери.

Ответ: Рычаг не позволяет получить выигрыш в работе из-за закона сохранения энергии («золотого правила механики»). Выигрывая в силе, мы во столько же раз проигрываем в расстоянии, поэтому в идеальном случае работа, совершаемая приложенной силой, равна работе по перемещению груза. В реальных условиях из-за наличия трения полезная работа всегда меньше затраченной.

4. Можно ли получить выигрыш в работе, используя простые механизмы?

Нет, получить выигрыш в работе, используя простые механизмы, невозможно. Это утверждение известно как «золотое правило механики» и является следствием закона сохранения энергии.

Любой простой механизм (рычаг, блок, наклонная плоскость, ворот, клин, винт) предназначен для преобразования силы. Он может позволить получить выигрыш в силе, но это неизбежно приведет к проигрышу в расстоянии, на которое перемещается точка приложения этой силы. Аналогично, можно получить выигрыш в расстоянии, но за счет проигрыша в силе.

В идеальном случае, когда трение и другие силы сопротивления отсутствуют, полезная работа $A_п$ (работа, совершаемая механизмом) равна затраченной работе $A_з$ (работа, совершаемая над механизмом): $A_п = A_з$ Даже в этом идеализированном сценарии выигрыша в работе нет — мы получаем ровно столько же работы, сколько вложили.

В любом реальном механизме всегда присутствуют силы трения, сопротивление воздуха и т.д. Часть затраченной работы идет на преодоление этих сил и рассеивается в виде тепла. Это означает, что полезная работа всегда будет меньше затраченной: $A_п < A_з$ Эффективность любого реального механизма, или его коэффициент полезного действия (КПД), определяется как отношение полезной работы к затраченной, $\eta = {A_п \over A_з}$, и всегда меньше 1 (или 100%).

Таким образом, ни один простой механизм и ни одна их комбинация не могут создать энергию из ничего, поэтому дать выигрыш в работе они неспособны. Они лишь делают выполнение работы более удобным, изменяя величину или направление прикладываемой силы.

Ответ: Нет, получить выигрыш в работе при помощи простых механизмов невозможно. Согласно «золотому правилу механики», которое является следствием закона сохранения энергии, во сколько раз выигрываешь в силе, во столько же раз проигрываешь в расстоянии. В реальных условиях из-за трения полезная работа всегда оказывается меньше затраченной.

4. Можно ли получить выигрыш в работе, используя наклонную плоскость? Почему?

Нет, получить выигрыш в работе, используя наклонную плоскость или любой другой простой механизм, невозможно. Это утверждение является следствием фундаментального принципа, известного как «золотое правило» механики.

Почему?

«Золотое правило» механики гласит: во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз мы проигрываем в расстоянии. При этом работа, которая является произведением силы на расстояние, в идеальном случае остается неизменной, а в реальном — даже увеличивается.

Рассмотрим это на примере наклонной плоскости:

1. Полезная работа ($A_{полезная}$) — это работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело на определённую высоту $h$. Она не зависит от способа подъёма и равна произведению веса тела $P$ на высоту подъёма $h$:
$A_{полезная} = P \cdot h$

2. Затраченная работа ($A_{затраченная}$) — это работа, которую мы совершаем, перемещая тело по наклонной плоскости. Она равна произведению приложенной нами силы $F$ на длину наклонной плоскости $l$:
$A_{затраченная} = F \cdot l$

Наклонная плоскость даёт выигрыш в силе: чтобы втащить тело по наклонной плоскости, требуется сила $F$, которая меньше веса тела $P$. Однако это достигается за счёт увеличения пути: длина наклонной плоскости $l$ всегда больше высоты $h$.

• В идеальном случае (без учёта силы трения) полезная работа была бы равна затраченной работе. То есть выигрыша в работе нет:
  $A_{полезная} = A_{затраченная}$
  $P \cdot h = F \cdot l$

• В реальных условиях всегда существует сила трения, которая направлена против движения. Поэтому, чтобы переместить тело, нужно прикладывать силу, которая преодолевает не только составляющую силы тяжести, но и силу трения. Это означает, что для совершения той же полезной работы нам приходится совершать дополнительную работу по преодолению трения ($A_{трения}$). В результате затраченная работа всегда оказывается больше полезной:
  $A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Таким образом, получить выигрыш в работе ($A_{полезная} > A_{затраченная}$) невозможно ни при каких условиях. На практике мы всегда проигрываем в работе из-за неизбежного наличия трения. Простые механизмы, включая наклонную плоскость, созданы для получения выигрыша в силе, а не в работе.

Ответ: Нет, получить выигрыш в работе, используя наклонную плоскость, невозможно. Согласно «золотому правилу» механики, любой выигрыш в силе сопровождается равным проигрышем в расстоянии, из-за чего работа в идеальном случае не меняется. В реальных условиях из-за наличия трения затраченная работа всегда будет больше полезной работы, то есть мы получаем проигрыш в работе.