Страница 83 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

Докажите, что масса тела, изготовленного из данного вещества, прямо пропорциональна его объёму.

Дано:

Тело изготовлено из вещества с постоянной плотностью $\rho$.
$m$ — масса тела.
$V$ — объём тела.

Найти:

Доказать, что масса $m$ прямо пропорциональна объёму $V$.

Решение

По определению, плотность вещества $\rho$ — это физическая величина, равная отношению массы тела $m$ к его объёму $V$.

$\rho = \frac{m}{V}$

Чтобы установить зависимость массы от объёма, выразим массу $m$ из этой формулы:

$m = \rho \cdot V$

В условии сказано, что тело изготовлено из данного вещества. Это означает, что его плотность $\rho$ является постоянной величиной (константой) для всех тел, сделанных из этого вещества.

Уравнение $m = \rho \cdot V$ является математическим выражением прямой пропорциональной зависимости. В этой зависимости масса $m$ и объём $V$ являются переменными величинами, а плотность $\rho$ — постоянным коэффициентом пропорциональности.

Это означает, что во сколько раз увеличится или уменьшится объём тела, во столько же раз увеличится или уменьшится его масса.

Ответ: Масса тела $m$ связана с его объёмом $V$ через плотность вещества $\rho$ формулой $m = \rho \cdot V$. Поскольку для данного вещества его плотность $\rho$ является постоянной величиной, то масса тела прямо пропорциональна его объёму. Что и требовалось доказать.

1. Какова масса 0,5 л воды; бензина; масла машинного?

Дано:

$V = 0,5 \text{ л}$
$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м³}$
$\rho_{бензина} = 710 \text{ кг/м³}$
$\rho_{масла} = 900 \text{ кг/м³}$

$V = 0,5 \text{ л} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м³} = 0,0005 \text{ м³}$

Найти:

$m_{воды} - ?$
$m_{бензина} - ?$
$m_{масла} - ?$

Решение:

Масса тела определяется по формуле: $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества, а $V$ — его объем. Для нахождения массы каждого вещества воспользуемся табличными значениями их плотностей. Плотности взяты из справочных таблиц.

воды

Найдем массу 0,5 л воды. Плотность воды составляет $\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м³}$.

$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 0,0005 \text{ м³} = 0,5 \text{ кг}$.

Ответ: масса 0,5 л воды равна 0,5 кг.

бензина

Найдем массу 0,5 л бензина. Плотность бензина составляет примерно $\rho_{бензина} = 710 \text{ кг/м³}$.

$m_{бензина} = \rho_{бензина} \cdot V = 710 \text{ кг/м³} \cdot 0,0005 \text{ м³} = 0,355 \text{ кг}$.

Ответ: масса 0,5 л бензина равна 0,355 кг.

масла машинного

Найдем массу 0,5 л машинного масла. Плотность машинного масла составляет примерно $\rho_{масла} = 900 \text{ кг/м³}$.

$m_{масла} = \rho_{масла} \cdot V = 900 \text{ кг/м³} \cdot 0,0005 \text{ м³} = 0,45 \text{ кг}$.

Ответ: масса 0,5 л машинного масла равна 0,45 кг.

2. Две бочки наполнены горючим: одна — бензином, другая — керосином. Объём бочки с керосином в 3 раза больше объёма бочки с бензином. Определите, во сколько раз отличаются массы бензина и керосина в бочках.

Дано:

$V_к = 3 \cdot V_б$
Плотность бензина (справочное значение): $\rho_б = 710 \, \text{кг/м}^3$
Плотность керосина (справочное значение): $\rho_к = 800 \, \text{кг/м}^3$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Во сколько раз отличаются массы бензина и керосина, то есть найти отношение $\frac{m_к}{m_б}$.

Решение:

Масса тела определяется по формуле: $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества, а $V$ — его объём.

Запишем формулы для массы бензина ($m_б$) и массы керосина ($m_к$):

$m_б = \rho_б \cdot V_б$

$m_к = \rho_к \cdot V_к$

Чтобы найти, во сколько раз масса керосина отличается от массы бензина, найдём их отношение:

$\frac{m_к}{m_б} = \frac{\rho_к \cdot V_к}{\rho_б \cdot V_б}$

Из условия задачи мы знаем, что объём керосина в 3 раза больше объёма бензина, то есть $V_к = 3 \cdot V_б$. Подставим это соотношение в нашу формулу:

$\frac{m_к}{m_б} = \frac{\rho_к \cdot (3 \cdot V_б)}{\rho_б \cdot V_б}$

Сократим объём $V_б$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m_к}{m_б} = 3 \cdot \frac{\rho_к}{\rho_б}$

Теперь подставим числовые значения плотностей бензина и керосина:

$\frac{m_к}{m_б} = 3 \cdot \frac{800 \, \text{кг/м}^3}{710 \, \text{кг/м}^3} = \frac{2400}{710} \approx 3.38$

Таким образом, масса керосина примерно в 3,4 раза больше массы бензина.

Ответ: масса керосина больше массы бензина примерно в 3,4 раза.

3. Каков объём бензобака автомобиля, вмещающего 32 кг бензина?

Дано:

Масса бензина, $m = 32$ кг

Плотность бензина (справочное значение), $\rho \approx 710 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Объём бензобака, $V$ — ?

Решение:

Объём, масса и плотность связаны между собой следующей формулой:

$\rho = \frac{m}{V}$

Из этой формулы выразим объём $V$:

$V = \frac{m}{\rho}$

Подставим числовые значения в формулу:

$V = \frac{32 \text{ кг}}{710 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 0.04507 \text{ м}^3$

Объём бензобаков принято измерять в литрах. Переведём полученный результат в литры, учитывая, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:

$V \approx 0.04507 \text{ м}^3 \cdot 1000 \frac{\text{л}}{\text{м}^3} \approx 45.07 \text{ л}$

Округляя до целого значения, получаем объём бензобака примерно 45 литров.

Ответ: объём бензобака составляет примерно 45 л.

4. В аквариум длиной 30 см и шириной 20 см налита вода на высоту 25 см. Определите массу воды в аквариуме.

4. Дано:

Длина аквариума, $a = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$
Ширина аквариума, $b = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
Высота воды, $h = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
Плотность воды (табличное значение), $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Массу воды, $m$

Решение:

Чтобы найти массу воды, необходимо знать ее объем и плотность. Масса связана с объемом и плотностью следующей формулой: $m = \rho \cdot V$, где $m$ - масса, $\rho$ - плотность, $V$ - объем.

Объем воды в аквариуме представляет собой объем прямоугольного параллелепипеда, который вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты: $V = a \cdot b \cdot h$.

Сначала вычислим объем воды в аквариуме, подставив значения в систему СИ: $V = 0.3 \text{ м} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 0.25 \text{ м} = 0.015 \text{ м}^3$.

Теперь, зная объем и плотность воды, можем рассчитать ее массу: $m = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.015 \text{ м}^3 = 15 \text{ кг}$.

Ответ: масса воды в аквариуме равна 15 кг.

5. Каков объём мраморной глыбы массой 6,75 т?

Дано:

Масса мраморной глыбы $m = 6,75 \text{ т}$

Плотность мрамора $\rho = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (табличное значение)

Перевод массы в систему СИ:

$m = 6,75 \text{ т} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{т}} = 6750 \text{ кг}$

Найти:

Объём глыбы $V$

Решение:

Для определения объёма мраморной глыбы воспользуемся формулой плотности, которая связывает массу ($m$), объём ($V$) и плотность вещества ($\rho$):

$\rho = \frac{m}{V}$

Чтобы найти объём $V$, необходимо выразить его из данной формулы:

$V = \frac{m}{\rho}$

Теперь подставим числовые значения в единицах СИ и произведём вычисления:

$V = \frac{6750 \text{ кг}}{2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 2,5 \text{ м}^3$

Ответ: объём мраморной глыбы составляет $2,5 \text{ м}^3$.

6. Деталь, отлитая из меди, имеет массу М. Чему будет равна масса такой же детали, выполненной из дерева?

Дано:

Масса медной детали: $M_{м} = M$

Плотность меди: $\rho_{м}$

Плотность дерева: $\rho_{д}$

Объем детали: $V$ (одинаковый для обоих случаев)

Найти:

Массу деревянной детали: $M_{д}$

Решение:

Масса любого тела вычисляется по формуле: $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — это плотность материала, из которого сделано тело, а $V$ — его объем.

Для медной детали, масса которой по условию равна $M$, мы можем записать:

$M = \rho_{м} \cdot V$

Из этой формулы мы можем выразить объем детали $V$. Так как по условию задачи форма детали не меняется, её объем остается постоянным вне зависимости от материала.

$V = \frac{M}{\rho_{м}}$

Теперь запишем формулу для массы этой же детали, но выполненной из дерева. Обозначим массу деревянной детали как $M_{д}$, а плотность дерева как $\rho_{д}$.

$M_{д} = \rho_{д} \cdot V$

Подставим в последнее уравнение выражение для объема $V$, которое мы получили из данных о медной детали:

$M_{д} = \rho_{д} \cdot \left(\frac{M}{\rho_{м}}\right)$

Сгруппировав множители, получаем итоговое выражение для массы деревянной детали:

$M_{д} = M \cdot \frac{\rho_{д}}{\rho_{м}}$

Это означает, что масса деревянной детали будет во столько раз меньше исходной массы $M$, во сколько раз плотность дерева меньше плотности меди.

Ответ: Масса такой же детали, выполненной из дерева, будет равна $M_{д} = M \cdot \frac{\rho_{д}}{\rho_{м}}$, где $\rho_{д}$ — плотность дерева, а $\rho_{м}$ — плотность меди.

1. Придумайте несколько задач, используя данные таблиц 3—5. Обменяйтесь с товарищами условиями задач и решите их.

Поскольку таблицы 3–5, необходимые для выполнения задания, не были предоставлены, в решении используются гипотетические таблицы с физическими величинами, которые часто встречаются в школьных учебниках.

Таблица 3. Плотность некоторых твердых тел (при нормальных условиях)

Таблица 4. Плотность некоторых жидкостей (при нормальных условиях)

Таблица 5. Удельная теплоемкость некоторых веществ

Ниже представлены примеры задач, составленных на основе этих таблиц, и их решения.

Задача 1

Условие: Определите массу сплошного железного куба с длиной ребра 10 см.

Дано:

$a = 10 \text{ см}$
Вещество: железо

$a = 0.1 \text{ м}$
$\rho_{\text{железа}} = 7800 \text{ кг/м³}$ (из Таблицы 3)

Найти:

$m$ - ?

Решение:

Масса тела $m$ связана с его объемом $V$ и плотностью $\rho$ формулой: $m = \rho \cdot V$.

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

Сначала найдем объем куба в системе СИ:

$V = (0.1 \text{ м})^3 = 0.001 \text{ м³}$

Теперь, используя значение плотности железа из Таблицы 3, найдем массу куба:

$m = \rho_{\text{железа}} \cdot V = 7800 \text{ кг/м³} \cdot 0.001 \text{ м³} = 7.8 \text{ кг}$

Ответ: масса железного куба составляет 7.8 кг.

Задача 2

Условие: Что имеет большую массу: 1 литр воды или 1 литр керосина? Во сколько раз?

Дано:

$V_{\text{воды}} = 1 \text{ л}$
$V_{\text{керосина}} = 1 \text{ л}$

$V_{\text{воды}} = V_{\text{керосина}} = 1 \text{ л} = 0.001 \text{ м³}$
$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м³}$ (из Таблицы 4)
$\rho_{\text{керосина}} = 800 \text{ кг/м³}$ (из Таблицы 4)

Найти:

Сравнить $m_{\text{воды}}$ и $m_{\text{керосина}}$;
$\frac{m_{\text{воды}}}{m_{\text{керосина}}}$ - ?

Решение:

Масса вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$.

Найдем массу 1 литра воды:

$m_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 0.001 \text{ м³} = 1 \text{ кг}$

Найдем массу 1 литра керосина:

$m_{\text{керосина}} = \rho_{\text{керосина}} \cdot V_{\text{керосина}} = 800 \text{ кг/м³} \cdot 0.001 \text{ м³} = 0.8 \text{ кг}$

Сравнивая массы, видим, что $1 \text{ кг} > 0.8 \text{ кг}$, следовательно, масса 1 литра воды больше массы 1 литра керосина.

Найдем, во сколько раз масса воды больше массы керосина:

$\frac{m_{\text{воды}}}{m_{\text{керосина}}} = \frac{1 \text{ кг}}{0.8 \text{ кг}} = 1.25$

Ответ: 1 литр воды имеет большую массу. Масса воды в 1.25 раза больше массы керосина.

Задача 3

Условие: Какое количество теплоты потребуется, чтобы нагреть медный брусок массой 500 г от 20 °C до 100 °C?

Дано:

$m = 500 \text{ г}$
$t_1 = 20 \text{ °C}$
$t_2 = 100 \text{ °C}$
Вещество: медь

$m = 0.5 \text{ кг}$
$c_{\text{меди}} = 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (из Таблицы 5)

Найти:

$Q$ - ?

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $c$ – удельная теплоемкость вещества, $m$ – масса тела, $t_1$ – начальная температура, $t_2$ – конечная температура.

Разность температур $\Delta t$ составляет:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 100 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 80 \text{ °C}$

Подставим значения в формулу, используя удельную теплоемкость меди из Таблицы 5:

$Q = 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot 80 \text{ °C} = 15200 \text{ Дж}$

Количество теплоты можно выразить в килоджоулях: $15200 \text{ Дж} = 15.2 \text{ кДж}$.

Ответ: потребуется 15200 Дж (или 15.2 кДж) теплоты.

2. Составьте план эксперимента по сравнению плотности воды и молока, предложите его одноклассникам. В эксперименте используйте стакан и весы с разновесами.

Для сравнения плотности воды и молока с помощью стакана и весов с разновесами предлагается следующий план эксперимента, основанный на сравнении масс одинаковых объемов жидкостей.

Цель эксперимента:

Опытным путем сравнить плотности воды и молока.

Оборудование:

• Весы рычажные с набором разновесов (гирь).
• Один стеклянный стакан.
• Образец воды.
• Образец молока.
• Маркер или тонкая полоска клейкой ленты.

План эксперимента (Ход работы):

1. Измерение массы пустого стакана. Поставить пустой и сухой стакан на одну чашу весов. С помощью разновесов на другой чаше уравновесить весы. Суммарная масса разновесов будет равна массе пустого стакана. Обозначим эту массу $m_{ст}$.
2. Отмеривание объема. Налить в стакан воду до произвольного, но удобного для дальнейшей работы уровня (например, на 2/3 объема). На внешней стенке стакана с помощью маркера или клейкой ленты сделать точную отметку по уровню поверхности воды. Этот отмеченный уровень будет соответствовать объему $V$, который мы будем использовать для обеих жидкостей.
3. Измерение массы воды. Поставить на весы стакан с водой, налитой точно до отметки. Уравновесить весы с помощью разновесов. Определить общую массу стакана с водой, обозначим ее $m_1$.
4. Расчет массы воды. Вычислить массу налитой воды путем вычитания массы пустого стакана из общей массы: $m_{воды} = m_1 - m_{ст}$.
5. Измерение массы молока. Вылить воду из стакана и насухо его вытереть. После этого налить в тот же стакан молоко строго до сделанной ранее отметки. Это обеспечит равенство объемов воды и молока ($V_{воды} = V_{молока} = V$).
6. Поставить стакан с молоком на весы и определить его общую массу. Обозначим ее $m_2$.
7. Расчет массы молока. Вычислить массу налитого молока: $m_{молока} = m_2 - m_{ст}$.

Анализ результатов и вывод:

Плотность вещества $\rho$ находится по формуле $\rho = \frac{m}{V}$, где $m$ — масса, а $V$ — объем.

Так как в ходе эксперимента мы использовали равные объемы воды и молока ($V = const$), то для сравнения их плотностей достаточно сравнить их массы. Жидкость, имеющая большую массу при том же объеме, будет иметь и большую плотность.

• Если масса молока окажется больше массы воды ($m_{молока} > m_{воды}$), то плотность молока больше плотности воды ($\rho_{молока} > \rho_{воды}$).
• Если масса молока окажется меньше массы воды ($m_{молока} < m_{воды}$), то плотность молока меньше плотности воды ($\rho_{молока} < \rho_{воды}$).
• Если массы окажутся равны ($m_{молока} = m_{воды}$), то и плотности жидкостей равны ($\rho_{молока} = \rho_{воды}$).

Сравнив полученные значения масс $m_{воды}$ и $m_{молока}$, делается итоговый вывод.

Ответ: План эксперимента заключается в том, чтобы измерить с помощью весов массы одинаковых объемов воды и молока. Для этого сначала взвешивают пустой стакан. Затем в него наливают воду до определенной метки и взвешивают. Вычислив массу воды, ее выливают, а в стакан наливают молоко до той же метки и снова взвешивают, находя массу молока. Сравнение масс жидкостей при одинаковом объеме позволяет напрямую сравнить их плотности: у какой жидкости масса больше, у той и плотность больше.