Номер 3, страница 194 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

3*. Чему равна высота изображения, даваемого линзой, если высота предмета 4 см, а её увеличение равно 10? Как по отношению к линзе расположен предмет?

Дано:

Высота предмета $h = 4$ см

Увеличение линзы $Γ = 10$

В системе СИ:

$h = 0.04$ м

Найти:

$H$ - высота изображения;

Расположение предмета.

Решение:

Линейное увеличение линзы $Γ$ определяется как отношение высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$. Математически это записывается в виде формулы:

$Γ = \frac{H}{h}$

Из этой формулы выразим высоту изображения $H$:

$H = Γ \cdot h$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$H = 10 \cdot 4 \text{ см} = 40 \text{ см}$

Переведем в метры: $H = 0.4 \text{ м}$.

Теперь определим, как должен быть расположен предмет относительно линзы. Увеличение больше единицы ($Γ = 10 > 1$) дает только собирающая линза. Существует два возможных случая расположения предмета для получения увеличенного изображения.

1. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$):

В этом случае линза создает действительное, перевернутое и увеличенное изображение. Используем формулу тонкой линзы $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $ и формулу увеличения $Γ = \frac{f}{d}$. Из второй формулы выражаем $f = Γ \cdot d$ и подставляем в первую:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{Γd} = \frac{Γ+1}{Γd}$

Отсюда выражаем расстояние до предмета $d$:

$d = F \frac{Γ+1}{Γ} = F(1+\frac{1}{Γ})$

Подставив $Γ = 10$, получаем:

$d = F(1+\frac{1}{10}) = 1.1F$

2. Предмет расположен между линзой и фокусом ($d < F$):

В этом случае линза создает мнимое, прямое и увеличенное изображение (режим лупы). Формула тонкой линзы для мнимого изображения: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{f'} $, где $f'$ - расстояние до мнимого изображения. Увеличение $Γ = \frac{f'}{d}$. Выражаем $f' = Γ \cdot d$ и подставляем в формулу линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} - \frac{1}{Γd} = \frac{Γ-1}{Γd}$

Выражаем расстояние до предмета $d$:

$d = F \frac{Γ-1}{Γ} = F(1-\frac{1}{Γ})$

Подставив $Γ = 10$, получаем:

$d = F(1-\frac{1}{10}) = 0.9F$

Таким образом, в обоих случаях, чтобы получить большое увеличение, предмет необходимо разместить очень близко к главному фокусу собирающей линзы.

Ответ: высота изображения равна 40 см. Для получения такого увеличения предмет должен быть расположен вблизи фокуса собирающей линзы: либо на расстоянии $d = 1.1F$ для получения действительного изображения, либо на расстоянии $d = 0.9F$ для получения мнимого изображения, где $F$ — фокусное расстояние линзы.