Номер 4, страница 8 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Начальные геометрические сведения. Параграф 1. Прямая и отрезок - номер 4, страница 8.

Условие.

4 Отметьте точки $A$, $B$, $C$, $D$ так, чтобы точки $A$, $B$, $C$ лежали на одной прямой, а точка $D$ не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи нужно определить все уникальные прямые, которые можно провести через четыре точки A, B, C, D, с учетом заданных условий их расположения.

1. Анализ расположения точек

По условию, точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Назовем эту прямую $l$. Точка $D$ не принадлежит этой прямой.

2. Построение и подсчет прямых

Рассмотрим все возможные пары точек и прямые, проходящие через них:

• Прямые, проходящие через точки $A, B$ и $C$.
  Пары точек $(A, B)$, $(A, C)$ и $(B, C)$ лежат на одной прямой $l$. Следовательно, все три пары определяют одну и ту же прямую. Это первая уникальная прямая.

• Прямые, проходящие через точку $D$ и одну из точек $A, B, C$.
  Поскольку точка $D$ не лежит на прямой $l$, то прямая, соединяющая $D$ с любой из точек $A, B$ или $C$, будет новой, отличной от $l$, прямой.

  • Прямая через точки $A$ и $D$. Это вторая уникальная прямая.

  • Прямая через точки $B$ и $D$. Эта прямая не может совпадать с прямой $(AD)$, иначе точки $A, B, D$ лежали бы на одной прямой, а это означало бы, что точка $D$ лежит на прямой $(AB)$, то есть на прямой $l$, что противоречит условию. Значит, это третья уникальная прямая.

  • Прямая через точки $C$ и $D$. Аналогично предыдущему пункту, эта прямая не совпадает ни с одной из уже найденных. Это четвертая уникальная прямая.

Больше никаких пар точек нет, следовательно, мы нашли все возможные прямые. Всего получилось 4 прямые: $(ABC)$, $(AD)$, $(BD)$, $(CD)$.

3. Решение с помощью комбинаторики

Задачу можно решить, используя формулы комбинаторики. Количество прямых, которое можно провести через $n$ точек, где никакие три не лежат на одной прямой, равно числу сочетаний из $n$ по 2: $\binom{n}{2}$.

Если бы все 4 точки были в общем положении, мы бы получили $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ прямых.

Однако, у нас есть 3 точки ($A, B, C$), лежащие на одной прямой. Эти 3 точки вместо $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$ прямых образуют только одну. Разница составляет $3 - 1 = 2$ прямые.

Таким образом, из общего возможного числа прямых нужно вычесть эту разницу: $6 - 2 = 4$.

Ответ: 4 прямых.