Номер 1.14, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.14. Сколько прямых можно провести через различные пары из:

а) 3 точек;

б) 4 точек;

в) 5 точек;

г) *n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Эта задача сводится к нахождению количества способов выбрать 2 точки из заданного множества точек, поскольку через любые две различные точки можно провести ровно одну прямую. Условие "никакие три из которых не принадлежат одной прямой" гарантирует, что каждая пара точек определяет уникальную прямую.

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка называется числом сочетаний и вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы всегда выбираем пары точек, поэтому $k=2$. Формула упрощается: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

а) Для 3 точек, $n=3$.

Количество прямых равно числу сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Ответ: 3

б) Для 4 точек, $n=4$.

Количество прямых равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Ответ: 6

в) Для 5 точек, $n=5$.

Количество прямых равно числу сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 10

г) Для $n$ точек.

В общем случае для $n$ точек количество прямых равно числу сочетаний из $n$ по 2. Как мы вывели ранее, это количество вычисляется по общей формуле. $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$