Номер 1.15, страница 10 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.15. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь:

а) 3 прямые;

б) 4 прямые;

в) 5 прямых;

г) $\text{n}$ прямых?

Чтобы найти наибольшее число точек попарных пересечений, необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1. Каждая прямая пересекает все остальные прямые (т.е. нет параллельных прямых).
2. Никакие три (или более) прямые не пересекаются в одной и той же точке.

При выполнении этих условий каждая пара прямых создает ровно одну уникальную точку пересечения. Таким образом, задача сводится к подсчету количества пар, которые можно образовать из данного числа прямых.

а) Для 3 прямых количество точек пересечения равно количеству способов выбрать 2 прямые из 3. Это можно вычислить с помощью числа сочетаний $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=3$, $k=2$:

$C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Итак, 3 прямые могут иметь максимум 3 точки попарных пересечений.

Ответ: 3.

б) Для 4 прямых количество точек пересечения равно числу сочетаний из 4 по 2.

В нашем случае $n=4$, $k=2$:

$C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

Также можно рассуждать по-другому: первая прямая дает 0 пересечений. Вторая прямая пересекает первую (1 точка). Третья прямая пересекает первые две (2 новые точки). Четвертая прямая пересекает первые три (3 новые точки). Суммарное число точек: $1 + 2 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

в) Для 5 прямых количество точек пересечения равно числу сочетаний из 5 по 2.

В нашем случае $n=5$, $k=2$:

$C_5^2 = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

Продолжая предыдущие рассуждения: к 6 точкам от 4 прямых добавляется пятая прямая, которая пересекает 4 предыдущие, создавая 4 новые точки. Итого: $6 + 4 = 10$.

Ответ: 10.

г) Для общего случая с $n$ прямыми, мы ищем количество пар, которые можно составить из $n$ элементов. Это число сочетаний из $n$ по 2.

$C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Эта формула дает максимальное число точек пересечения для $n$ прямых. Можно прийти к этой формуле и другим путем. Каждая из $n$ прямых пересекает $(n-1)$ других прямых. Произведение $n(n-1)$ подсчитывает каждую точку пересечения ровно дважды (например, пересечение прямой A и B, и пересечение B и A). Поэтому для получения правильного ответа это произведение нужно разделить на 2.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.