Номер 1.8, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.8. Пусть прямые $\text{a}$, $\text{b}$, $\text{c}$ пересекаются в одной точке и прямые $\text{b}$, $\text{c}$, $\text{d}$ пересекаются в одной точке. Что можно сказать о всех прямых $\text{a}$, $\text{b}$, $\text{c}$, $\text{d}$?

Из первого условия задачи известно, что прямые $a$, $b$ и $c$ пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $M$. Следовательно, точка $M$ принадлежит каждой из этих прямых: $M \in a$, $M \in b$ и $M \in c$.

Из второго условия известно, что прямые $b$, $c$ и $d$ пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $N$. Следовательно, точка $N$ принадлежит каждой из этих прямых: $N \in b$, $N \in c$ и $N \in d$.

Рассмотрим общие для обоих условий прямые $b$ и $c$. Из первого условия следует, что они пересекаются в точке $M$. Из второго — что они пересекаются в точке $N$.

Согласно основной аксиоме геометрии, две различные прямые на плоскости (или в пространстве) могут пересекаться только в одной точке. Условие «пересекаются в одной точке» означает, что прямые $b$ и $c$ не совпадают (иначе у них было бы бесконечное число общих точек), а именно пересекаются. Поэтому точка их пересечения является единственной.

Отсюда следует, что точки $M$ и $N$ — это одна и та же точка: $M = N$.

Пусть $P$ — это общая точка, то есть $P = M = N$. Поскольку $M \in a$, то и $P \in a$. Поскольку $N \in d$, то и $P \in d$. Мы уже знаем, что $M$ и $N$ лежат на прямых $b$ и $c$, значит и $P$ лежит на прямых $b$ и $c$.

Таким образом, точка $P$ принадлежит всем четырем прямым: $a$, $b$, $c$ и $d$. Это означает, что все эти прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: Все четыре прямые $a$, $b$, $c$, $d$ пересекаются в одной точке.