Номер 1.5, страница 8 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.5. Сколько прямых изображено на рисунке 1.5? Сколько у них точек попарных пересечений?

Рис. 1.5

а) На рисунке а) изображено 5 прямых, которые образуют фигуру, известную как пентаграмма (пятиконечная звезда). Чтобы найти количество точек попарных пересечений, нужно определить, сколько пар прямых можно составить из имеющихся пяти. В данном случае никакие две прямые не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Количество пересечений для $n$ прямых в общем положении вычисляется по формуле числа сочетаний из $n$ по 2: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Для 5 прямых количество точек пересечения равно: $C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Этот результат можно проверить и прямым подсчетом точек на рисунке: 5 точек на "вершинах" звезды и 5 точек на вершинах внутреннего пятиугольника.

Ответ: 5 прямых, 10 точек пересечения.

б) На рисунке б) изображено 6 прямых. В отличие от предыдущего случая, здесь есть точки, в которых пересекаются более двух прямых (кратные точки пересечения), поэтому формула для общего положения не применима напрямую. Проанализируем конфигурацию:

• Три прямые пересекаются в одной центральной точке. Сами по себе они дают 1 точку пересечения.
• Три другие прямые попарно пересекаются между собой, образуя 3 точки пересечения (это вершины большого треугольника, если мысленно убрать первую тройку прямых).
• Каждая прямая из первой тройки пересекает каждую прямую из второй тройки. Это дает еще $3 \times 3 = 9$ уникальных точек пересечения.

Прямой подсчет точек на рисунке подтверждает этот вывод: 1 центральная точка, 6 точек, образующих внутренний шестиугольник, и 6 точек на "вершинах" звезды. Всего $1 + 6 + 6 = 13$ точек.

Ответ: 6 прямых, 13 точек пересечения.