Номер 1.4, страница 8 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.4. Изобразите: а) четыре точки; б) пять точек; в) шесть точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой (рис. 1.4). Проведите прямые, проходящие через различные пары из этих точек. Сколько всего таких прямых?

Рис. 1.4

Суть задачи заключается в том, чтобы определить, сколько различных прямых можно провести через заданное количество точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой.

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, количество прямых равно количеству способов выбрать пару точек из общего их числа. Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно, с помощью формулы для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае $k=2$, так как прямая определяется двумя точками) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Для нашего случая ($k=2$) формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n \cdot (n-1)}{2}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) четыре точки

Дано $n=4$ точки. Подставляем это значение в формулу:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, через 4 точки можно провести 6 прямых.

Ответ: 6.

б) пять точек

Дано $n=5$ точек. Подставляем это значение в формулу:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Таким образом, через 5 точек можно провести 10 прямых.

Ответ: 10.

в) шесть точек

Дано $n=6$ точек. Подставляем это значение в формулу:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Таким образом, через 6 точек можно провести 15 прямых.

Ответ: 15.