Номер 1.11, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.11. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

1.11. Чтобы решить эту задачу, сначала определим максимально возможное количество точек пересечения для пяти прямых. Каждая пара прямых на плоскости может пересечься не более чем в одной точке. Чтобы найти общее количество пар, которые можно составить из пяти прямых, мы используем комбинаторную формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=5$ и $k=2$.

Максимальное число точек пересечения $N$ для $n$ прямых равно числу сочетаний из $n$ по 2: $N = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Для пяти прямых ($n=5$) получаем: $N = C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, десять точек пересечения — это максимальное количество, которое можно получить при пересечении пяти прямых. Это максимальное число достигается при выполнении двух условий:

1. Никакие две прямые не параллельны (каждая пара прямых должна пересечься).
2. Никакие три или более прямых не пересекаются в одной и той же точке (каждая точка пересечения уникальна для одной пары прямых).

Такое расположение прямых называется расположением в общем положении. Чтобы изобразить пять прямых с десятью точками пересечения, нужно просто нарисовать их в общем положении. Проще всего это сделать, рисуя прямые последовательно, следя за тем, чтобы каждая новая прямая пересекала все предыдущие в новых точках.

Наглядным примером такого расположения является пентаграмма (пятиконечная звезда). Пять линий, образующих стороны пентаграммы, пересекаются ровно в десяти точках: пять на внешних вершинах звезды и пять на вершинах внутреннего пятиугольника.

Ниже представлено изображение пяти прямых в общем положении, у которых ровно десять точек попарных пересечений. Точки пересечения для наглядности выделены.

Ответ: Для получения десяти точек попарных пересечений необходимо расположить пять прямых в общем положении, как показано на рисунке.