Номер 1.10, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.10. Изобразите четыре прямые так, чтобы у них было:

а) три точки;

б) четыре точки;

в) пять точек;

г) шесть точек попарных пересечений.

а) Для того чтобы четыре прямые имели три точки пересечения, можно расположить их следующим образом. Пусть три прямые, назовем их l₁, l₂ и l₃, пересекаются в одной общей точке A. Это дает нам одну точку пересечения. Теперь проведем четвертую прямую, l₄, параллельно одной из первых трех, например, прямой l₁. Так как l₄ параллельна l₁, они не пересекаются. Однако прямая l₄ пересечет две другие прямые, l₂ и l₃, в двух новых различных точках B и C. Таким образом, общее количество точек пересечения составит три: A, B и C.

Ответ: Изобразить три прямые, проходящие через одну точку, и четвертую прямую, параллельную одной из этих трех прямых.

б) Чтобы получить четыре точки пересечения, можно воспользоваться одним из следующих способов.

1. Взять три прямые (l₁, l₂, l₃), пересекающиеся в одной точке A. Четвертую прямую l₄ провести так, чтобы она пересекала все три первые прямые в трех различных точках (B, C, D), не проходя при этом через точку A. В результате мы получим четыре точки пересечения: A, B, C и D.

2. Взять две пары параллельных прямых, где прямые из одной пары не параллельны прямым из другой. Например, l₁ || l₂ и l₃ || l₄. Пересечения этих прямых образуют вершины параллелограмма, которых ровно четыре.

Ответ: Изобразить три прямые, пересекающиеся в одной точке, и четвертую прямую, которая пересекает эти три прямые в трех различных точках.

в) Максимально возможное число точек пересечения для четырех прямых равно шести. Чтобы получить пять точек, нужно уменьшить это число на одну. Это достигается, если ровно одна пара прямых будет параллельна, а все остальные пересечения будут попарными и уникальными. Возьмем две параллельные прямые l₁ и l₂. Проведем еще две прямые, l₃ и l₄, так, чтобы они не были параллельны друг другу и первым двум. Тогда прямая l₃ пересечет l₁ и l₂ (2 точки), прямая l₄ также пересечет l₁ и l₂ (еще 2 точки), и, наконец, прямые l₃ и l₄ пересекутся между собой (1 точка). Общее число точек: 2 + 2 + 1 = 5.

Ответ: Изобразить две параллельные прямые и две другие пересекающиеся прямые, которые также пересекают обе параллельные прямые.

г) Шесть точек пересечения — это максимальное число для четырех прямых. Это происходит, когда прямые находятся в так называемом общем положении: никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной и той же точке. В этом случае каждая пара прямых дает одну уникальную точку пересечения. Количество таких пар можно посчитать по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для $n=4$ прямых и $k=2$ (так как пересечение происходит попарно), получаем: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Ответ: Изобразить четыре прямые так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке.