Номер 1, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 7.

Условие.

Докажите, что $(x + 1)^2$ делится на $x + 1$ и не делится на $x - 1$, рассуждая таким же образом, как во фрагменте 2.

Решение 4.

$(x+1)^2$ делится на $x+1$

Для доказательства воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка тогда и только тогда, когда $P(a) = 0$.

В нашем случае многочлен $P(x) = (x+1)^2$, а делитель — это $x+1$. Представим делитель в виде $(x - a)$, получим $x - (-1)$, следовательно, $a = -1$.

Теперь найдем значение многочлена $P(x)$ в точке $x = a = -1$:

$P(-1) = (-1 + 1)^2 = 0^2 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, то, согласно теореме Безу, многочлен $(x+1)^2$ делится на $x+1$ без остатка.

Ответ: многочлен $(x + 1)^2$ делится на $x + 1$.

$(x+1)^2$ не делится на $x-1$

Снова применим теорему Безу. Рассматриваемый многочлен $P(x) = (x+1)^2$, а делитель — это $x-1$. Представим делитель в виде $(x - a)$, следовательно, $a = 1$.

Найдем значение многочлена $P(x)$ в точке $x = a = 1$:

$P(1) = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$.

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x - a)$ равен $P(a)$. В нашем случае остаток от деления $(x+1)^2$ на $x-1$ равен 4.

Поскольку $P(1) = 4 \neq 0$, остаток от деления не равен нулю, а значит, многочлен $(x+1)^2$ не делится на $x-1$ нацело.

Ответ: многочлен $(x + 1)^2$ не делится на $x - 1$.