Номер 1.3, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.3, страница 8.

Условие.

1.3 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь выражение, которое делится на каждое из данных выражений:

а) $ab$, $bc$;

б) $x^2y$, $xy^2$, $xy$;

в) $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$;

г) $a + b$, $a - b$;

д) $(p + q)^2$, $2(p + q)$;

е) $m^2 - n^2$, $5(m - n)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы составить выражение, которое делится на каждое из данных выражений, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК).
Даны выражения $ab$ и $bc$.
Разложим их на простейшие множители:
$ab = a \cdot b$
$bc = b \cdot c$
Чтобы найти НОК, нужно взять каждый уникальный множитель ($a$, $b$, $c$) в наивысшей степени, в которой он встречается. В данном случае все множители имеют степень 1.
Перемножим их: $a \cdot b \cdot c = abc$.
Проверим делимость: $abc \div ab = c$ и $abc \div bc = a$. Выражение подходит.
Ответ: $abc$.

б) Даны выражения $x^2y$, $xy^2$, $xy$.
Для нахождения НОК возьмем каждую переменную в наивысшей степени, встречающейся в данных выражениях.
Наивысшая степень для $x$ это 2 (из выражения $x^2y$).
Наивысшая степень для $y$ это 2 (из выражения $xy^2$).
Перемножив их, получаем искомое выражение: $x^2y^2$.
Проверим делимость: $x^2y^2 \div x^2y = y$; $x^2y^2 \div xy^2 = x$; $x^2y^2 \div xy = xy$.
Ответ: $x^2y^2$.

в) Даны выражения $a^2$, $b^2$, $c^2$, $abc$.
Находим НОК. Для этого берем каждую переменную в наивысшей степени.
Для $a$: наибольшая степень 2 (из $a^2$).
Для $b$: наибольшая степень 2 (из $b^2$).
Для $c$: наибольшая степень 2 (из $c^2$).
Искомое выражение: $a^2b^2c^2$.
Проверим делимость: $a^2b^2c^2 \div a^2 = b^2c^2$; $a^2b^2c^2 \div b^2 = a^2c^2$; $a^2b^2c^2 \div c^2 = a^2b^2$; $a^2b^2c^2 \div abc = abc$.
Ответ: $a^2b^2c^2$.

г) Даны выражения $a+b$ и $a-b$.
Эти выражения являются самостоятельными множителями. Чтобы найти выражение, которое делится на оба, нужно их перемножить.
Искомое выражение: $(a+b)(a-b)$.
По формуле разности квадратов это равно $a^2 - b^2$.
Проверим делимость: $(a^2 - b^2) \div (a+b) = a-b$; $(a^2 - b^2) \div (a-b) = a+b$.
Ответ: $a^2 - b^2$.

д) Даны выражения $(p+q)^2$ и $2(p+q)$.
Разложим их на множители:
$(p+q)^2 = (p+q) \cdot (p+q)$
$2(p+q) = 2 \cdot (p+q)$
Находим НОК. Для числовых коэффициентов $1$ и $2$ НОК равен $2$.
Для многочлена $(p+q)$ берем наибольшую степень, то есть 2.
Искомое выражение: $2(p+q)^2$.
Проверим делимость: $2(p+q)^2 \div (p+q)^2 = 2$; $2(p+q)^2 \div 2(p+q) = p+q$.
Ответ: $2(p+q)^2$.

е) Даны выражения $m^2-n^2$ и $5(m-n)$.
Сначала разложим первое выражение на множители по формуле разности квадратов:
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$
Второе выражение: $5(m-n)$.
Находим НОК. Числовой множитель равен $5$. Множитель $(m-n)$ встречается в первой степени в обоих случаях. Множитель $(m+n)$ встречается в первом выражении.
Собираем все множители: $5 \cdot (m-n) \cdot (m+n) = 5(m-n)(m+n)$.
Это выражение можно записать как $5(m^2-n^2)$.
Проверим делимость: $5(m^2-n^2) \div (m^2-n^2) = 5$; $5(m-n)(m+n) \div 5(m-n) = m+n$.
Ответ: $5(m^2-n^2)$.