Номер 1.5, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.5, страница 8.

Условие.

1.5 Подберите значения $a$, при которых значение выражения $\frac{1}{a}$ является:

а) дробным числом;

б) целым числом;

в) положительным дробным числом, меньшим $1$;

г) дробным числом, большим $1$;

д) отрицательным целым числом, меньшим $-100$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) дробным числом
Значение выражения $\frac{1}{a}$ является дробным числом, если оно не является целым. Выражение $\frac{1}{a}$ принимает целые значения, когда $a$ является числом, обратным целому числу (кроме нуля), то есть $a = \frac{1}{k}$, где $k$ - целое, $k \neq 0$. Например, если $a=1$ или $a=-1$, то $\frac{1}{a}$ будет целым числом. Также, если $a = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{a}=2$.
Чтобы значение выражения было дробным, нужно выбрать такое значение $a$, которое не является обратным к целому числу. Проще всего выбрать целое число $a$, не равное $1$ или $-1$.
Например, пусть $a=2$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$, это дробное число.
Пусть $a=-3$. Тогда $\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$, это дробное число.
Пусть $a=1.5$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$, это дробное число.
Ответ: например, $a = 2$, $a = -3$, $a = 10$.

б) целым числом
Значение выражения $\frac{1}{a}$ является целым числом, если $a$ является числом, обратным некоторому целому числу $k$ ($k \neq 0$). То есть, $a = \frac{1}{k}$.
Если $a=1$ (то есть $k=1$), то $\frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$, что является целым числом.
Если $a=-1$ (то есть $k=-1$), то $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1$, что является целым числом.
Если $a=\frac{1}{5}$ (то есть $k=5$), то $\frac{1}{a} = \frac{1}{1/5} = 5$, что является целым числом.
Если $a=-\frac{1}{10}$ (то есть $k=-10$), то $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1/10} = -10$, что является целым числом.
Ответ: например, $a = 1$, $a = -1$, $a = \frac{1}{5}$.

в) положительным дробным числом, меньшим 1
Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно удовлетворять неравенству $0 < \frac{1}{a} < 1$. Также оно должно быть дробным (не целым).
Из неравенства $\frac{1}{a} > 0$ следует, что $a$ должно быть положительным ($a > 0$).
Рассмотрим второе неравенство $\frac{1}{a} < 1$. Так как $a > 0$, мы можем умножить обе части на $a$, не меняя знака неравенства: $1 < a$.
Таким образом, нам нужно, чтобы $a > 1$. Если $a$ - любое число больше 1, то $\frac{1}{a}$ будет положительным числом, меньшим 1. Так как $a>1$, $a$ не может быть равно 1, поэтому $\frac{1}{a}$ не будет равно 1. Также $\frac{1}{a}$ не может быть другим целым числом (например, 2, 3, ...), так как для этого требовалось бы $a \le \frac{1}{2}$. Значит, при $a>1$ значение $\frac{1}{a}$ всегда дробное.
Например, при $a=2$, $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$. Это число положительное, меньше 1 и дробное.
Ответ: например, $a = 2$, $a = 10$, $a = 3.5$.

г) дробным числом, большим 1
Значение выражения $\frac{1}{a}$ должно удовлетворять условию $\frac{1}{a} > 1$, и при этом быть не целым числом.
Из неравенства $\frac{1}{a} > 1$ следует, что $a$ должно быть положительным. Умножив обе части на $a$ (которое положительно), получим $1 > a$.
Таким образом, $a$ должно находиться в интервале $0 < a < 1$.
При этом нужно, чтобы $\frac{1}{a}$ не было целым числом. Это означает, что $a$ не должно быть числом вида $\frac{1}{k}$, где $k$ - целое число, большее 1 (например, $a \neq \frac{1}{2}, a \neq \frac{1}{3}$ и т.д.).
Пусть $a = \frac{2}{3}$. Это число удовлетворяет условию $0 < \frac{2}{3} < 1$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1.5$. Это дробное число, большее 1.
Пусть $a = 0.4$. Это число удовлетворяет условию $0 < 0.4 < 1$. Тогда $\frac{1}{a} = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5$. Это дробное число, большее 1.
Ответ: например, $a = \frac{2}{3}$, $a = 0.7$, $a = \frac{3}{5}$.

д) отрицательным целым числом, меньшим –100
Пусть значение выражения $\frac{1}{a}$ равно $k$. По условию, $k$ должно быть целым числом и удовлетворять неравенству $k < -100$.
Это значит, что $k$ может быть равно $-101, -102, -103, \dots$.
Из равенства $\frac{1}{a} = k$ находим $a$: $a = \frac{1}{k}$.
Чтобы найти подходящие значения $a$, мы можем выбрать любое целое число $k < -100$ и вычислить $a = \frac{1}{k}$.
Например, выберем $k = -101$. Тогда $a = \frac{1}{-101} = -\frac{1}{101}$. Проверим: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1/101} = -101$. Это отрицательное целое число, и $-101 < -100$.
Выберем $k = -200$. Тогда $a = \frac{1}{-200} = -\frac{1}{200}$.
Выберем $k = -500$. Тогда $a = -\frac{1}{500}$.
Ответ: например, $a = -\frac{1}{101}$, $a = -\frac{1}{200}$, $a = -\frac{1}{500}$.