Номер 1.11, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.11, страница 9.

Условие.

1.11 Составьте выражение по условию задачи:

а) Сколько времени потребуется, чтобы проплыть на моторной лодке $s$ км по течению реки, если собственная скорость лодки $v$ км/ч, скорость течения реки $u$ км/ч? Найдите это время, если $s = 30$, $v = 10$, $u = 2$; $s = 32$, $v = 15$, $u = 1$.

б) Какое время потребуется катеру, чтобы проплыть $s$ км против течения реки и вернуться обратно, если его собственная скорость $v$ км/ч, а скорость течения реки $u$ км/ч? Найдите это время, если $s = 30$, $v = 22$, $u = 2$.

в) Пловец проплыл $l$ м по течению реки за $t$ мин. Чему равна собственная скорость пловца, если скорость течения реки $u$ м/мин? Найдите скорость пловца, если $l = 300$, $t = 5$, $u = 20$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы найти время, нужное для того, чтобы проплыть расстояние $s$ по течению реки, необходимо знать скорость движения по течению. Эта скорость складывается из собственной скорости лодки $v$ и скорости течения реки $u$.

Скорость по течению: $v_{по\;течению} = v + u$.

Время движения $t$ вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v_{по\;течению}}$.

Таким образом, общее выражение для времени: $t = \frac{s}{v + u}$.

Теперь найдем время для конкретных значений:

1. Если $s = 30$ км, $v = 10$ км/ч, $u = 2$ км/ч, то время равно:

$t = \frac{30}{10 + 2} = \frac{30}{12} = 2,5$ часа.

2. Если $s = 32$ км, $v = 15$ км/ч, $u = 1$ км/ч, то время равно:

$t = \frac{32}{15 + 1} = \frac{32}{16} = 2$ часа.

Ответ: выражение для времени: $t = \frac{s}{v + u}$; при $s = 30, v = 10, u = 2$ время равно 2,5 ч; при $s = 32, v = 15, u = 1$ время равно 2 ч.

б)

Чтобы найти общее время, необходимо сложить время движения против течения и время движения по течению (на обратном пути).

Скорость катера против течения: $v_{против\;течения} = v - u$.

Время движения против течения на расстояние $s$: $t_{против} = \frac{s}{v - u}$.

Скорость катера по течению (обратно): $v_{по\;течению} = v + u$.

Время движения по течению на расстояние $s$: $t_{по} = \frac{s}{v + u}$.

Общее время $t_{общее}$ равно сумме этих времен:

$t_{общее} = t_{против} + t_{по} = \frac{s}{v - u} + \frac{s}{v + u}$.

Это выражение можно упростить, приведя к общему знаменателю:

$t_{общее} = \frac{s(v + u) + s(v - u)}{(v - u)(v + u)} = \frac{sv + su + sv - su}{v^2 - u^2} = \frac{2sv}{v^2 - u^2}$.

Найдем это время для заданных значений: $s = 30$ км, $v = 22$ км/ч, $u = 2$ км/ч.

$t_{общее} = \frac{30}{22 - 2} + \frac{30}{22 + 2} = \frac{30}{20} + \frac{30}{24} = 1,5 + 1,25 = 2,75$ часа.

2,75 часа = 2 часа и 0,75 * 60 = 45 минут.

Ответ: выражение для времени: $t = \frac{s}{v - u} + \frac{s}{v + u}$; при $s = 30, v = 22, u = 2$ время равно 2,75 ч (или 2 часа 45 минут).

в)

Сначала найдем фактическую скорость пловца по течению реки, разделив расстояние $l$ на время $t$.

Скорость по течению: $v_{по\;течению} = \frac{l}{t}$.

Эта скорость является суммой собственной скорости пловца $v_{собственная}$ и скорости течения $u$:

$v_{по\;течению} = v_{собственная} + u$.

Приравнивая два выражения для скорости по течению, получаем: $\frac{l}{t} = v_{собственная} + u$.

Отсюда выразим собственную скорость пловца:

$v_{собственная} = \frac{l}{t} - u$.

Найдем собственную скорость пловца для заданных значений: $l = 300$ м, $t = 5$ мин, $u = 20$ м/мин.

$v_{собственная} = \frac{300}{5} - 20 = 60 - 20 = 40$ м/мин.

Ответ: выражение для собственной скорости пловца: $v_{собственная} = \frac{l}{t} - u$; при $l = 300, t = 5, u = 20$ собственная скорость пловца равна 40 м/мин.