Номер 1.16, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.16, страница 10.

Условие.

1.16 Выясните, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ при $x=0$; $x=1$; $x=-1$; $x=\frac{1}{2}$. Если имеет, то найдите его значение.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение, нужно проверить, не происходит ли при подстановке данных значений $x$ деления на ноль. В выражении $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ деление на ноль происходит в двух случаях:

1. Знаменатель члена $\frac{1}{x}$ равен нулю, то есть $x=0$.
2. Знаменатель всей дроби $x - \frac{1}{x}$ равен нулю. Найдем, при каких $x$ это происходит:
   $x - \frac{1}{x} = 0$
   $x = \frac{1}{x}$
   $x^2 = 1$
   $x = 1$ или $x = -1$.

Таким образом, данное выражение не имеет смысла при $x=0, x=1$ и $x=-1$. Проверим каждое значение из условия задачи.

при x = 0
Это значение недопустимо, так как в выражении присутствует член $\frac{1}{x}$, который при $x=0$ не определен (деление на ноль).
Ответ: не имеет смысла.

при x = 1
При подстановке этого значения знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $1 - \frac{1}{1} = 0$, что недопустимо.
Ответ: не имеет смысла.

при x = -1
При подстановке этого значения знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $-1 - \frac{1}{-1} = -1 + 1 = 0$, что недопустимо.
Ответ: не имеет смысла.

при x = 1/2
Это значение является допустимым. Найдем значение выражения, подставив $x = \frac{1}{2}$:
$\frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{1/2}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{1/2}} = \frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} = -1$.
Ответ: -1.