Номер 1.20, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.20, страница 13.

Условие.

1.20 Дополните равенства:

а) $ \frac{5}{a} = \frac{\_}{2a} = \frac{\_}{a^2} = \frac{5c}{\_} = \frac{5(a+b)}{\_}; $

б) $ \frac{x-y}{x+y} = \frac{\_}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^2}{\_} = \frac{\_}{ax+ay} = \frac{x^2-xy}{\_}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы дополнить данные равенства, воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то получится равная ей дробь. Исходная дробь — $\frac{5}{a}$.

1. Сравним знаменатели дробей $\frac{5}{a}$ и $\frac{?}{2a}$. Знаменатель второй дроби $2a$ получен умножением знаменателя первой дроби $a$ на 2. Следовательно, чтобы равенство было верным, нужно умножить числитель первой дроби на 2: $5 \cdot 2 = 10$. Таким образом, $\frac{5}{a} = \frac{10}{2a}$.

2. Сравним знаменатели дробей $\frac{5}{a}$ и $\frac{?}{a^2}$. Знаменатель второй дроби $a^2$ получен умножением знаменателя первой дроби $a$ на $a$. Следовательно, числитель второй дроби равен $5 \cdot a = 5a$. Таким образом, $\frac{5}{a} = \frac{5a}{a^2}$.

3. Сравним числители дробей $\frac{5}{a}$ и $\frac{5c}{?}$. Числитель второй дроби $5c$ получен умножением числителя первой дроби $5$ на $c$. Следовательно, знаменатель второй дроби равен $a \cdot c = ac$. Таким образом, $\frac{5}{a} = \frac{5c}{ac}$.

4. Сравним числители дробей $\frac{5}{a}$ и $\frac{5(a+b)}{?}$. Числитель второй дроби $5(a+b)$ получен умножением числителя первой дроби $5$ на $(a+b)$. Следовательно, знаменатель второй дроби равен $a \cdot (a+b) = a(a+b)$. Таким образом, $\frac{5}{a} = \frac{5(a+b)}{a(a+b)}$.

Ответ: $\frac{5}{a} = \frac{10}{2a} = \frac{5a}{a^2} = \frac{5c}{ac} = \frac{5(a+b)}{a(a+b)}$.

б) Аналогично действуем для дроби $\frac{x-y}{x+y}$.

1. Сравним знаменатели дробей $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{?}{(x+y)^2}$. Знаменатель был умножен на $(x+y)$. Значит, и числитель нужно умножить на $(x+y)$: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ (по формуле разности квадратов). Таким образом, $\frac{x-y}{x+y} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}$.

2. Сравним числители дробей $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{(x-y)^2}{?}$. Числитель был умножен на $(x-y)$. Значит, и знаменатель нужно умножить на $(x-y)$: $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$. Таким образом, $\frac{x-y}{x+y} = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}$.

3. Сравним знаменатели дробей $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{?}{ax+ay}$. Преобразуем новый знаменатель, вынеся общий множитель за скобки: $ax+ay = a(x+y)$. Видно, что исходный знаменатель $(x+y)$ был умножен на $a$. Значит, и числитель нужно умножить на $a$: $a(x-y)$. Таким образом, $\frac{x-y}{x+y} = \frac{a(x-y)}{ax+ay}$.

4. Сравним числители дробей $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{x^2-xy}{?}$. Преобразуем новый числитель: $x^2-xy = x(x-y)$. Видно, что исходный числитель $(x-y)$ был умножен на $x$. Значит, и знаменатель нужно умножить на $x$: $x(x+y) = x^2+xy$. Таким образом, $\frac{x-y}{x+y} = \frac{x^2-xy}{x^2+xy}$.

Ответ: $\frac{x-y}{x+y} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{a(x-y)}{ax+ay} = \frac{x^2-xy}{x^2+xy}$.