Номер 1.19, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.19, страница 11.

Условие.

1.19 Исследуем

1) Сравните значения выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ при $x = -2$, $y = 5$ и при $x = 5$, $y = -2$. Изменится ли данное выражение, если вместо переменной $x$ подставить переменную $y$, а вместо переменной $y$ — переменную $x$? Проверьте свой ответ, выполнив такую замену.

Рис. 1.2

2) Выражение с двумя переменными, например $x$ и $y$, называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке $y$ вместо $x$ и $x$ вместо $y$. Какие из следующих выражений являются симметрическими: $x^3 + y^3$, $x^2 - y^2$, $x(x + y)$, $xy(x + y)$, $\frac{x^2 + y^2}{y}$, $\frac{(x - y)^2}{xy}$, $(x + y)^2 - 2xy$?

3) Придумайте примеры симметрических выражений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сравним значения выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ для двух пар значений.
При $x = -2, y = 5$ подставляем значения в выражение:
$\frac{(-2)^2 + 5^2}{(-2) \cdot 5} = \frac{4 + 25}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$.
При $x = 5, y = -2$ подставляем значения в выражение:
$\frac{5^2 + (-2)^2}{5 \cdot (-2)} = \frac{25 + 4}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$.
Значения выражения в обоих случаях равны.
Теперь проверим, изменится ли выражение, если поменять местами переменные $x$ и $y$. Пусть исходное выражение $E(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{xy}$. После замены переменных ($x \leftrightarrow y$) получим новое выражение $E(y,x) = \frac{y^2 + x^2}{yx}$. Так как сложение и умножение коммутативны (то есть $x^2+y^2=y^2+x^2$ и $xy=yx$), то $E(x,y)=E(y,x)$. Следовательно, выражение не изменится, что и подтверждается нашими расчетами.
Ответ: Значения выражения в обоих случаях равны $-2.9$. Выражение не изменится при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$.

2) Выражение с двумя переменными называется симметрическим, если оно не меняется при подстановке одной переменной вместо другой и наоборот. Проверим каждое выражение, выполнив замену $x \to y$ и $y \to x$:
- $x^3 + y^3 \to y^3 + x^3$. Поскольку $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$ (сложение коммутативно), это симметрическое выражение.
- $x^2 - y^2 \to y^2 - x^2$. Поскольку $y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2) \neq x^2 - y^2$ (в общем случае), это не симметрическое выражение.
- $x(x + y) = x^2 + xy \to y(y + x) = y^2 + yx$. Поскольку $x^2 + xy \neq y^2 + yx$ (в общем случае), это не симметрическое выражение.
- $xy(x + y) \to yx(y + x)$. Поскольку умножение и сложение коммутативны ($yx=xy$ и $y+x=x+y$), выражение не изменяется. Это симметрическое выражение.
- $\frac{x^2 + y^2}{y} \to \frac{y^2 + x^2}{x}$. Поскольку знаменатели различны (при $x \neq y$), это не симметрическое выражение.
- $\frac{(x - y)^2}{xy} \to \frac{(y - x)^2}{yx}$. Числитель $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$, а знаменатель $yx=xy$. Выражение не изменяется. Это симметрическое выражение.
- $(x + y)^2 - 2xy \to (y + x)^2 - 2yx$. Поскольку $y+x=x+y$ и $yx=xy$, выражение не изменяется. Это симметрическое выражение.
Ответ: Симметрическими являются выражения: $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$, $\frac{(x - y)^2}{xy}$, $(x + y)^2 - 2xy$.

3) Симметрические выражения — это выражения, которые не изменяют свой вид при перестановке переменных. Их можно составить, используя операции, результат которых не зависит от порядка операндов (например, сложение и умножение), или такие комбинации, которые остаются неизменными при перестановке.
Вот несколько примеров:
- $x+y$ (сумма переменных)
- $xy$ (произведение переменных)
- $x^4 + y^4$ (сумма одинаковых степеней)
- $|x-y|$ (модуль разности, так как $|y-x| = |-(x-y)| = |x-y|$)
- $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (сумма обратных величин)
- $(x+y)^3 + xy$
Ответ: Примеры симметрических выражений: $x+y$, $xy$, $x^4+y^4$, $|x-y|$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.