Номер 2, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Вопросы к параграфу. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 13.

Условие.

a) Какие преобразования алгебраической дроби можно выполнять на основе основного свойства алгебраической дроби (примеры 1 и 2 из фрагмента 1)? Сформулируйте это свойство.

б) Приведите дробь из примера 1 к знаменателю $x^2 - xy$.

в) Сократите дробь $\frac{ac^2}{ac-bc}$, действуя по тому же плану, что и в примере 2.

Решение 4.

а) На основе основного свойства алгебраической дроби можно выполнять два равносильных преобразования: приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби.

1. Приведение дроби к новому знаменателю (вероятно, показано в примере 1) — это умножение числителя и знаменателя исходной дроби на один и тот же ненулевой многочлен (дополнительный множитель).

2. Сокращение дроби (вероятно, показано в примере 2) — это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Основное свойство алгебраической дроби формулируется так: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. В виде формулы:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ и $\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$, где $A$, $B$, $C$ — многочлены, причём $B \neq 0$ и $C \neq 0$.

Ответ: На основе основного свойства алгебраической дроби можно выполнять приведение дроби к новому знаменателю (умножением числителя и знаменателя на дополнительный множитель) и сокращение дроби (делением числителя и знаменателя на общий множитель). Свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

б) Так как в задании не приведена дробь из примера 1, решим задачу для произвольной дроби, например $\frac{k}{x}$. Требуется привести эту дробь к знаменателю $x^2 - xy$.

1. Сначала разложим на множители новый знаменатель: $x^2 - xy = x(x-y)$.

2. Найдем дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель $x(x-y)$ разделим на исходный знаменатель $x$: $\frac{x(x-y)}{x} = x-y$.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби $\frac{k}{x}$ на найденный дополнительный множитель $(x-y)$:

$\frac{k}{x} = \frac{k \cdot (x-y)}{x \cdot (x-y)} = \frac{kx - ky}{x^2 - xy}$

Ответ: (для гипотетической дроби $\frac{k}{x}$) $\frac{kx - ky}{x^2 - xy}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{ac^2}{ac-bc}$, необходимо выполнить следующие шаги, аналогичные плану из примера 2.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Числитель $ac^2$ уже представлен в виде произведения множителей. В знаменателе $ac-bc$ вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac-bc = c(a-b)$.

2. Подставим разложенный на множители знаменатель обратно в дробь:

$\frac{ac^2}{c(a-b)}$

3. Сократим (разделим) числитель и знаменатель на их общий множитель $c$. Данное действие возможно при условии, что $c \neq 0$ и знаменатель не равен нулю, то есть $a-b \neq 0$.

$\frac{a \cdot c \cdot c}{c(a-b)} = \frac{ac}{a-b}$

Ответ: $\frac{ac}{a-b}$.