Номер 1.21, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.21, страница 14.

Условие.

1.21 Приведите дробь:

a) $\frac{a}{c}$ к знаменателю $2c$; $ac$; $-c$; $c^2$; $3c^2$;

б) $\frac{x+y}{xy}$ к знаменателю $x^2y^2$; $xy^2$; $x^3y$; $2xy$; $-xy$;

В) $\frac{m}{m-n}$ к знаменателю $m(m-n)$; $m^2-n^2$; $m^2n-mn^2$;

Г) $\frac{x-1}{x+1}$ к знаменателю $(x+1)^2$; $x^2-1$; $x^2+x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Приведем дробь $\frac{a}{c}$ к каждому из заданных знаменателей. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый, и умножим на него числитель и знаменатель исходной дроби.

1. К знаменателю $2c$: дополнительный множитель $2c \div c = 2$.
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 2}{c \cdot 2} = \frac{2a}{2c}$.

2. К знаменателю $ac$: дополнительный множитель $ac \div c = a$.
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot a}{c \cdot a} = \frac{a^2}{ac}$.

3. К знаменателю $-c$: дополнительный множитель $-c \div c = -1$.
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot (-1)}{c \cdot (-1)} = \frac{-a}{-c}$.

4. К знаменателю $c^2$: дополнительный множитель $c^2 \div c = c$.
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot c}{c \cdot c} = \frac{ac}{c^2}$.

5. К знаменателю $3c^2$: дополнительный множитель $3c^2 \div c = 3c$.
$\frac{a}{c} = \frac{a \cdot 3c}{c \cdot 3c} = \frac{3ac}{3c^2}$.

Ответ: $\frac{2a}{2c}$; $\frac{a^2}{ac}$; $\frac{-a}{-c}$; $\frac{ac}{c^2}$; $\frac{3ac}{3c^2}$.

б) Приведем дробь $\frac{x+y}{xy}$ к каждому из заданных знаменателей.

1. К знаменателю $x^2y^2$: дополнительный множитель $x^2y^2 \div (xy) = xy$.
$\frac{x+y}{xy} = \frac{(x+y) \cdot xy}{xy \cdot xy} = \frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2}$.

2. К знаменателю $xy^2$: дополнительный множитель $xy^2 \div (xy) = y$.
$\frac{x+y}{xy} = \frac{(x+y) \cdot y}{xy \cdot y} = \frac{xy+y^2}{xy^2}$.

3. К знаменателю $x^3y$: дополнительный множитель $x^3y \div (xy) = x^2$.
$\frac{x+y}{xy} = \frac{(x+y) \cdot x^2}{xy \cdot x^2} = \frac{x^3+x^2y}{x^3y}$.

4. К знаменателю $2xy$: дополнительный множитель $2xy \div (xy) = 2$.
$\frac{x+y}{xy} = \frac{(x+y) \cdot 2}{xy \cdot 2} = \frac{2x+2y}{2xy}$.

5. К знаменателю $-xy$: дополнительный множитель $-xy \div (xy) = -1$.
$\frac{x+y}{xy} = \frac{(x+y) \cdot (-1)}{xy \cdot (-1)} = \frac{-x-y}{-xy}$.

Ответ: $\frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2}$; $\frac{xy+y^2}{xy^2}$; $\frac{x^3+x^2y}{x^3y}$; $\frac{2x+2y}{2xy}$; $\frac{-x-y}{-xy}$.

в) Приведем дробь $\frac{m}{m-n}$ к каждому из заданных знаменателей.

1. К знаменателю $m(m-n)$: дополнительный множитель $m(m-n) \div (m-n) = m$.
$\frac{m}{m-n} = \frac{m \cdot m}{(m-n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m-n)}$.

2. К знаменателю $m^2-n^2$: представим знаменатель в виде $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$. Дополнительный множитель $(m-n)(m+n) \div (m-n) = m+n$.
$\frac{m}{m-n} = \frac{m \cdot (m+n)}{(m-n) \cdot (m+n)} = \frac{m^2+mn}{m^2-n^2}$.

3. К знаменателю $m^2n-mn^2$: представим знаменатель в виде $m^2n-mn^2 = mn(m-n)$. Дополнительный множитель $mn(m-n) \div (m-n) = mn$.
$\frac{m}{m-n} = \frac{m \cdot mn}{(m-n) \cdot mn} = \frac{m^2n}{m^2n-mn^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{m(m-n)}$; $\frac{m^2+mn}{m^2-n^2}$; $\frac{m^2n}{m^2n-mn^2}$.

г) Приведем дробь $\frac{x-1}{x+1}$ к каждому из заданных знаменателей.

1. К знаменателю $(x+1)^2$: дополнительный множитель $(x+1)^2 \div (x+1) = x+1$.
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)} = \frac{x^2-1}{(x+1)^2}$.

2. К знаменателю $x^2-1$: представим знаменатель в виде $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Дополнительный множитель $(x-1)(x+1) \div (x+1) = x-1$.
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2-1} = \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$.

3. К знаменателю $x^2+x$: представим знаменатель в виде $x^2+x = x(x+1)$. Дополнительный множитель $x(x+1) \div (x+1) = x$.
$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1) \cdot x}{(x+1) \cdot x} = \frac{x^2-x}{x^2+x}$.

Ответ: $\frac{x^2-1}{(x+1)^2}$; $\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$; $\frac{x^2-x}{x^2+x}$.